seront (10)....x2+÷Q+V÷Q2−S, x2+÷Q—V÷Q2—S..... (11). Dans le cas de S> o et > Q, si l'on pose x + V―ƒ—g V—1, x +V=f+gV—1, si l'on multiplie entr'eux ceux de la première ligne, et l'un par l'autre ceux de la seconde, on trouvera d'abord x2 + [V−ƒ—gV−1 +V−f+gV−1] x + Vƒ®+g*, · [V=ƒ—gV−1 + V−f+gV−1] x+ VƑa+g2, qui (chap. I) se transforment dans les suivans, x2+x√-2f+2 V ƒ2 + g2 + Vƒf2 + g*, facteurs réels et les mêmes que ceux de (8), à cause de f=Q et — g2 = ¦ Q2 S, tandis que les facteurs doubles produits des facteurs verticalement placés, savoir +f+gV-1, x2+f―g V-1, sont imaginaires : néanmoins en les multipliant entr'eux, on retrouve la proposée. Il est maintenant très-facile de comprendre qu'on ne gagnerait rien à décomposer l'équation du troisième degré x3 + Px2 + Qx + R = 0, dans les facteurs x2 + Ax + Bet x + A'; car pour la détermination de A', on serait conduit à l'équa tion du troisième degré ; —A'3+PA'3—QA'+R=0 ou A3—PA'+QA'—R=0, puisque de x+A'o on déduit x=-A': conséquence qui devient plus évidente encore, si l'on considère que A' doit être l'une quelconque des racines de la proposée. Quant au coefficient A, comme il est la somme de deux quelconques des racines de la proposée, on aura pour l'évaluer une équation dont les racines, seront - (a+6), - (α+2), (6+2), et qui, conséquemment, sera du troisième degré. Le coefficient B sera encore donné par une équation du troisième degré, ayant pour racines les produits deux à deux «5, ay, að: nous avons effectivement vu (Ire sect., chap. XXIV), que ces coefficiens étaient donnés par ces équations A3— 2PA2 + (Q + P2) A + R—QP=0, B R A-P ensorte que quel que soit celui de ces coefficiens qu'on veuille évaluer, pour en conclure les deux autres, on parvient toujours à une équation du même degré que la proposée. 8. Ceux qui desireraient approfondir cette matière, pourrontconsulter la note X déjà citée de la résolution des équations numé riques, sur la décomposition des polynomes en facteurs réels, que Lagrange termine par cette observation : « Il faut avouer » qu'à l'exception de quelques cas particuliers où la décompo"sition de l'équation est facile, cette méthode sera impraticable » par la multiplicité et par la longueur des opérations qu'elle » peut exiger. » Aussi l'objet principal de cette note, est de prouver, à priori, la possibilité de cette décomposition des polynomes et des équations en facteurs réels du premier et du second degré, objet qui n'avait pas encore été rempli d'une manière directe et complète. CHAPITRE XV. De l'extraction des racines des quantités en partie commensurables et en partie incommensurables. 87. Nous avons déjà assigné (Ire sect., chap. XIX) la relation entre a et b, sous laquelle il était possible de décomposer l'expression doublement radicale Va+ Vb en deux radicaux carrés séparés ; nous allons, dans ce chapitre, généraliser la question, et nous occuper de l'extraction de la racine nime des quantités de la forme a+b, et d'abord, pour commencer par le cas le plus simple, nous considérerons celui de n= = 3. On aperçoit de suite qu'on ne peut supposer parce que le cube de VA+ VB ne contenant que des termes irrationnels, le nombre a ne serait pas commensurable comme on l'a supposé. Cette contradiction cesse d'avoir lieu lorsqu'on suppose 3 Va+vb = A + VB, ou, plus généralement, 3 Va+vb = z étant une indéterminée. Élevant de part et d'autre au cube, il viendra a + vb = z3 (A3 + 3A2 VB + 3AB + B VB), ensorte que a = z3 (A3 +3AB), Vb = 23 (3A2 +B) √/B. Il faut de ces deux équations déduire A et B, et on obser→ vera que la forme supposée à la racine cubique, n'aura lieu qu'autant qu'on trouvera pour A et pour B des nombres rationnels. Elevant l'une et l'autre équation au carré, puis retranchant la seconde de la première, on aura a2-b 6 posant 23 = A6 — 3A4B + 3A2B2 — B3 — ( A2 — B )3, = = C, puis extrayant la racine cubique de part Choisissons C d'après la condition que (a - b) C soit un cube parfait, et posons Substituant pour C d'où = BA2 - c. B cette valeur dans celle de a, on trouvera Pour que A et B soient des nombres rationnels, il faut que la dernière équation ait une racine commensurable. On prend C1, lorsque ab est un cube parfait, ainsi qu'il arrive à l'égard des doubles radicaux qui entrent dans l'expression des racines du troisième degré, et qui sont de la forme ensorte que l'équation qui donne A, devient 4A3=pA+ 1 = d'où / 8A3 2pA+9=0; et faisant 2A=y, y3py + q = 0. 3 A l'égard de l'expression va―yb, on poserait et on suivra de tout point la marche des calculs précédens. Soit la quantité 52 + 30 V3, dont on propose d'extraire la racine cubique: on a, par la comparaison, Dans cet exemple, pour rendre 4C un cuba parfait, il faut prendre C2 on trouve ensuite AB C = 1 et 8A3 6A 520. |