ensorte qu'ayant trouvé la racine t en série, on aura les deux autres racines x par l'élévation à la puissance, ou par l'extraction de la racine carrée qui donne deux signes, et conséquemment deux séries. Nous avons déduit des formules générales données par Lagrange, les deux dernières racines y, et nous les avons trouvées exactement conformes à celles qui ont été obtenues (99). Il sera bon de consulter le dernier paragraphe du mémoire cité, sur la convergence ou divergence des séries qui représentent les racines des équations littérales. CHAPITRE XVIII. Développemens en séries des quantités exponentielles et logarithmiques, et applications de ces séries. cédant suivant les puissances ascendantes de x: j'écris a sous la forme d'un binome 1 + ( a − 1); ensorte que en développant d'après la formule du binome, on trouve x(x [1 + ( a − 1 )]2 = 1 + x ( a − 1 ) + × ( x − 1 ) ( a − 1)a 1.2 x (x − 1 ) ( x − 2) (a-1)3+ etc., et, après avoir ordonné par rapport à x, il vient +( ) x2+( + + etc. ) x3 + ( )x + etc.......(1). Il est donc prouvé que l'exponentielle a peut être représentée par une série procédant suivant les puissances ascendantes, entières et positives de x. D'après cela, nous poserons (Ire sect., chap. 20) a2=1+Ax+ Bx2 + Cx3 + Dx1 + etc.....(2), en observant que, pour x=0, on a a* a° = 1: à l'effet d'évaluer les coefficiens A, B, C, etc. indéterminés et indépendans de x, nous partirons de cette propriété dont jouit exclusivement l'exponentielle a3, de donner des résultats identiques, en faisant x=2x, et en élevant au carré : par le changement de x en 2x, l'identité précédente devient qa=1+2Ax+4Bx2 + 8Cx3+ 16Dx4+32Ex3 + etc. : élevant de part et d'autre la même identité au carré, en regardant, pour plus de commodité, la série infinie, comme un binome dont le premier terme est l'unité, on trouve qa¤=1+2Åx+2B\x2+2C [x2+2D [x2+2E 1x+etc. Egalant les coefficiens des mêmes puissances de x, pris dans les deux développemens de a, on obtiendra ces déterminations, Comme les développemens (1) et (2) sont identiques, on a ensorte que le développement (3) est connu. On reconnaîtra facilement l'avantage de l'analyse suivante sur celle que nous venons d'employer. On a en même temps a2=1+Ax+Bx2 + Cx3 + Dx1+ etc., a=1+Ay+By2+ Cy3 + Dy1+ etc. parce que les indéterminées A, B, C, etc. étant indépendans de x, ne doivent pas changer par le changement de x la soustraction donne en : y a2 — a — A (x − y) + B (x2— y3)+C (x3— y3) + etc., = c'est-à-dire, a1(a*—7—1)=A(x—y) +B (x2—y1) + C(x3-y3)+etc...(4); mais d'ailleurs, a* − 1 = Ax + Bx2 + Cx3 + etc. : remplaçant ici a par x-y, et multipliant de part et d'autre par a', on trouve a' (a=~—1)=a[A(x—y)+B(x—y)2+C(x—y)3+etc.]...(5). Après avoir divisé par x-y les seconds membres des identités (4) et (5), fait y=x, et ce qui donne a = a* = 1 + Ax + Bx2 + etc., on tombe sur cette identité A+2Bx+3Cx2 + 4Dx3 + etc. =A (1+Ax+ Bx2+ Cx3 + etc.): la comparaison des coefficiens des mêmes puissances de 1 2.3.4 Du développement (3), on déduit pour x=1, A2 A3 a=1+ A+ + + etc.....(N), 2 2.3 série réciproque de (M): ainsi par (M), le nombre A dépend de la base a, et par (N), la base a dépend à son tour de A. Du même développement (3), on tire, pour x = Ainsi la quantité a est un nombre constant qu'on désigne ordinairement par e, nombre qui est la valeur particulière de la base a, lorsque A = 1, comme on le voit d'après (N) qui, dans cette hypothèse, donne 1 1 a = e = i + 1 + 2 + 2.3 + 2.3.4 + etc......(P) : on a donc cette relation I a1 = e d'où A a=e ..... Si donc dans (3), on fait A = 1, hypothèse qui nécessite le changement de a en e, on obtiendra ce développement de l'exponentielle e*, e2 = 1 + x + JC3 x1 2.3.4 + etc.......(6). Pour évaluer, d'après la série (P), le nombre e jusqu'à la |