et le coefficient total de x en a1, sera 30a4bf+30a1ce + 15a4d2; en observant que chaque terme de la forme pqr est répété 30 fois, tandis que chacun des termes de la forme p1q2 est répété 15 fois. Passons aux termes de x6 en a3: ces termes ne peuvent être que de trois dimensions, en b, c, d, etc., parce que à étant =3, on doit avoir donc à cause de μ++ etc. 6 - 3: μ + 2 + 35 + 4x + etc. = 6, il faut partager le nombre 6 en trois parties, ce qui donne ces décompositions : = Ainsi μ1 étant répété deux fois, v= 1 étant répété trois fois, on a eb2, dcb, c3, et pour les termes en a3 pris avec les coefficiens numériques, 60a3be+120a3bcd+20a3cs. Les termes en a2 sont de quatre dimensions en b, c, d, etc. : ainsi le nombre b doit être partagé en quatre parties, comme d'où ૐ μ étant répété trois fois dans le premier cas, et deux fois dans le second, et étant répété deux fois on conclut de là ces coefficiens b3d, b2c2, et conséquemment ces termes en a2 60a2b3d + 90a2b3c2, en observant que ces termes se rapportent à ceux-ci p3q2r, p2q2ra qui, dans le tableau précédent, ont pour coefficiens. respectifs 60 et go. donne un seul coefficient de a, savoir, cb.b.b.b, d'où l'on conclut 30ab4c pour un autre coefficient de x6. Enfin le partage du nombre 6 en Ensorte qu'on aura pour facteur de b6, 6a5g+30a1bf+30a1ce+15a1d2+60a3b2e+120a3bcd+20a3c3 +60a2b3d+90a2b2c2+30ab+c+bo. Voyez, sur ce sujet important, les chapitres XVI, XVII et XVIII des Élémens d'Arithmétique universelle, par Kramp, et le septième numéro du tome II des Annales de mathématiques. CHAPITRE XIX. Des séries qui expriment le sinus, le cosinus, etc. par l'arc, et l'arc par le sinus, la tangente; et conséquences qui en résultent. 110. Nous commencerons par les séries qui donnent le sinus et le cosinus suivant les puissances de l'arc, séries auxquelles nous parviendrons par deux analyses différentes. Pour l'arc o, le sinus est nul, et le cosinus est égal au rayon; d'où il suit que tous les termes de la série du sinus, doivent renfermer l'arc en facteur, et que l'un des termes de la série du cosinus, doit être le rayon que nous supposerons égal à l'unité.. D'une autre part, ces séries ne doivent procéder que suivant les puissances entières et positives de l'arc; car en admettant une puissance négative de l'arc dans ces séries, le sinus et le cosinus de l'arc nul, seraient infinis; conséquence absurde, Dans la supposition d'une puissance fractionnaire de l'arc, telle que G √x, à une valeur de l'arc, correspondraient des valeurs en nombre n du sinus et du cosinus, ce qui est faux (*); d'ailleurs si l'on supposait des puissances de l'arc, que le développement ne dût pas contenir, l'analyse les rejetterait en donnant o pour valeurs de leurs coefficiens. On posera donc sin x Ax + Bx2 + Cx3 + etc..... .(a), COS 1 + A'x + B'x2 + etc... (b). .... (*) On sait qu'à un sinus ou à un cosinus donné, répondent des arcs en nombre infiui; mais la réciproque n'a pas lieu. 13 Ici nous avons dû supposer toutes les puissances entières et positives de l'arc; car c'est au calcul à redresser ce qu'il peut y avoir d'inexact dans cette supposition; cependant on déduit d'une considération fort simple, que la série du sinus ne doit contenir que des puissances impaires de l'arc, tandis que celle du cosinus ne doit contenir que ses puissances paires. En effet, à l'arc -x répond - sin x, ensorte que l'identité (a) devient sin x Ax + Bx2 etc....(c); retranchant (c) de (a), et divisant la différence par 2, on trouve sin x Ax + Cx3 + Ex2 + etc.....(d). Le changement de +x en x n'en apporte pas dans le signe de cos x, ensorte que COS X 1 A'x + B'x2 C'x3 etc.....(e) ;' ́ajoutant (e) et (b), et divisant la somme par 2, on obtient cos x = 1 + B'x2 + D'x1 + etc......(ƒ). On pourra donc supposer sin x Ax + Bx3 + Cx3 + etc.....(1), cos x=1+ A'x2 + B'x1 + ete...........(2). A l'effet de déterminer les coefficiens A, B, C... A', B', sin(x+y)=sin y cos x + cos y sin x..... (3) sin y sin x..... ·(4), qui doivent être vérifiées par les développemens (1) et (2), en y changeant x en x+y, pour avoir les fonctions non développées sin(x + y), cos (x + y): après ces substitutions, si l'on ordonne suivant x les identités qu'on obtien dra, en faisant entrer y et ses puissances dans les coefficiens de x et de ses puissances, et si l'on égale seulement les coefficiens de la première puissance de x, la seule qu'on ait à former, on obtiendra ces deux identités A+3B y2+5C y1 + etc. = A + AA′y2 + AB′y1 + etc., =— - · 2A'y +4B'y3+ etc. A2y - AB y3 + etc., qui devant avoir lieu, quel que soit l'arc y, donnent Par ces substitutions, les développemens (1) et (2) deviennent etc. : et il reste à déterminer A: à cet effet, on divisera sin x et son développement par x, et on aura Or le rapport sin x approchant de l'unité, à mesure que x diminue (Trig. ), ce rapport ne devient rigoureusement égal à l'unité, que pour xo; donc A 1. Nous donnerons bientôt une détermination plus rigoureuse de ce coefficient A. |