lation est +(2-음-웅), -(2--등) Cette suite récurrente provient donc du développement d'une fraction dont le dénominateur est ou bien encore elle résulte du développement de la somme de deux fractions de la forme M et N étant des constantes: or les termes généraux de ces fractions étant, d'après ce qu'on a vu précédemment, le terme général du développement de la fraction génératrice, sera X = M + N(1). Il s'agit actuellement de déterminer M et N d'après l'état initial du mélange dans les deux vases. Soient, à cet effet, et les quantités d'eau qui se trouvaient respectivement dans les deux vases A et B avant la première opération : après cette première opération, il se trouvera dans le vase A relation qui doit être la même en effet que celle qui a lieu entre X', X et Y ainsi il faut qu'en faisant successive On pourra donc déterminer le moment où les quantités d'eau contenues dans les deux vases, seront entr'elles dans un rapport donné, ou celui auquel la quantité d'eau contenue dans l'un des vases, sera égale à une quantité donnée. Si, dans l'état initial du mélange, les quantités d'eau contenues dans les deux vases, sont respectivement proportionnelles aux capacités de ces vases, c'est-à-dire, si à cause de X= pour no. Ainsi, dans ce cas particulier, quelque multipliées que soient les opérations, l'état des deux mélanges est invariable. Soient a, les quantités de vin que renferment les deux vases avant la première opération, x et y les quantités de vin respectivement contenues dans les deux vases après la nième opération on aura ces quatre formules, est toujours comprise entre o et 2, et par con séquent i a I. est toujours fractionnaire et compris entre +et -1. Donc les valeurs de X, x Y, Y tamment à se réduire à leurs premiers termes, tendent cons à mesure que n devient plus grand, et elles y tendent de manière à ce que X et x restent toujours au-dessus, et qu'au contraire Y et C ab y restent toujours au-dessous, si l'on a +<1,ouc<a+b; a tandis qu'au contraire X et x, Y et y se trouvent alterna tivement au-dessus ou au-dessous de cette limite, pour les valeurs de X, x, Y, y atteindraient leurs limites respectives à la première opération, de manière que les opérations subséquentes n'y changeraient rien, et qu'alors le mélange se trouverait homogène dans les deux vases, puisqu'on a même connaître l'état initial du mélange dans chacun des vases, que ce mélange est exactement le même dans l'un et dans l'autre après une seule opération, et de plus il est aisé de voir que la chose aurait également lieu, lors même que les liquides mêlés dans chaque vase, seraient au nombre de plus de deux.. CHAPITRE XXVI. Transformation des fractions. 143. Nous avons cru qu'on ne serait pas fâché de trouver ici un extrait d'un mémoire sur cette question, du célèbre Lagrange, et consigné dans le cinquième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Soit une fraction B A qu'on suppose moindre que l'unité, et réduite à sa plus simple expression, ensorte que les nombres A et B soient premiers entr'eux. Si l'on demandait de transformer cette fraction en une autre dont le numérateur ou le dénominateur fût donné, il est clair que cela ne serait possible à la rigueur, qu'autant que le nouveau numérateur ou dénominateur serait un multiple du numérateur ou du dénominateur donné; mais si l'on veut se contenter d'une approximation, le problème est toujours résoluble, et il s'agit de déterminer la nouvelle fraction, de manière qu'elle approche le plus qu'il est possible de la fraction donnée. m Ainsi en désignant par cette nouvelle fraction, dans a laquelle nous supposerons que le dénominateur a soit donné, le problème consistera à déterminer m, ensorte que la diffé B m rence entre les deux fractions et, soit la plus petite pos A Ba sible or cette différence est · Am Aa : il s'agira donc de déterminer m d'après la condition que le nombre Ba-Am |