B

lorsque le rapport A

abcd + etc.:

est rationnel, la série précédente se termine, parce que tous les restes C, D, etc. différens entr'eux, sont moindres que A donc toute série de cette forme qui aura un nombre infini de termes, ne pourra représenter qu'une quantité irrationnelle ou incommensurable. La formule suivante,

étant de même forme que la précédente, et le nombre des termes infini, il en résulte que si l'on prend pour x une quantité rationnelle, c'est-à-dire, une quantité qui ait un rapport fini avec le rayon ou l'unité, sin x sera incommensurable. Cette conclusion est encore due à M. Lagrange et elle fournit à Haros la démonstration de l'énoncé.

En effet, celui qui prétendra avoir trouvé la quadrature du cercle, ou le rapport exact du diamètre à la circonférence, pourra toujours assigner le rayon et le quart de la circonférence d'un cercle par deux nombres entiers.

Soient donc R le rayon d'un cercle, et Q la longueur exacte. du quart de la circonférence : d'après la formule ci-dessus, on aura pour le rayon R,

or le nombre des termes de cette série étant infini, et R et Q des nombres entiers, il faut en conclure que sin est

2

incommensurable, ce qui est absurde, puisque ce sinus est égal à R, nombre rationnel : donc l'hypothèse de Q rationnel ne peut être admise pour le cas où le rayon serait rationnel; Q est donc une quantité incommensurable pour un rayon rationnel: il ne peut donc exister aucun rapport fini entre le diamètre et la circonférence.

CHAPITRE XXVII.

Développement de la théorie donnée par M. Laplace, pour l'élimination au premier degré.

150. CE chapitre dû, en partie, à M. Gergonne, est extrait du

n° V du tome IV des Annales Mathématiques. Avant d'entrer en matière, ce géomètre s'exprime en ces termes : « Cramer est, » je crois, le premier qui ait remarqué la loi que suivent les » valeurs des inconnues dans les équations du premier degré, » et qui ait indiqué des méthodes pour construire ces valeurs, » sans passer par le calcul de l'élimination. Postérieurement » Bezout, dans sa Théorie générale des Équations algébriques, » a apporté quelques modifications à ces méthodes; mais » quoiqu'il fût sur la voie d'une démonstration proprement » dite, elles sont demeurées entre ses mains comme entre » celles de Cramer, le résultat d'une simple induction.

» Ce n'est seulement qu'en 1772, que M. Laplace, dans » les Mémoires de l'Académie des Sciences, a démontré » pour la première fois, d'une manière générale et rigoureuse » l'exactitude de ces formules. Mais soit que la précieuse J collection où la théorie de cet illustre Géomètre est expo»sée, ne se trouve pas dans les mains de tout le monde, soit » plutôt que M. Laplace ne présentant, pour ainsi dire, » cette théorie qu'en passant, ne lui ait pas donné le dévelop>pement suffisant pour la bien faire apprécier, on a toujours » continué depuis lors, dans tous les Traités d'Algèbre, à

"n'appuyer les méthodes de construction des valeurs géné » rales des inconnues, que sur une simple induction (*).

151. Dans ce qui va suivre, on appellera nombres de même espèce, deux nombres qui seront l'un et l'autre pairs, ou l'un et l'autre impairs on changera donc l'espèce d'un nombre, en l'augmentant ou en le diminuant d'une unité, ou plus généralement, d'un nombre impair quelconque d'unités; et, au contraire, on ne changera pas l'espèce d'un nombre en l'augmentant ou en le diminuant d'un nombre quelconque pair d'unités.

152. Il sera encore vrai de dire que si l'on change plusieurs fois de suite, l'espèce d'un nombre, elle se trouvera être ou n'être plus la même, suivant que le nombre des changemens sera pair ou impair.

153. Soient les lettres a, b, c....., toutes différentes les une des autres, au nombre de m, et concevons ces lettres écrites les unes à la suite des autres, dans un ordre arbitraire : si deux d'entr'elles, consécutives ou non dans l'arrangement total, ne suivent pas l'ordre alphabétique, nous dirons qu'elles forment une inversion: nous dirons donc que l'arrangement total offre autant d'inversions qu'il s'y rencontre de systèmes de deux lettres qui ne sont pas écrites suivant l'ordre alphabétique.

154. On voit donc que si les m lettres se trouvent écrites suivant l'ordre alphabétique, le nombre des inversions sera nul; et que si elles sont écrites dans un ordre absolument inverse de celui-là, elles n'offriront que des inversions dont -1). le nombre sera

m (m

2

en effet, ce nombre des inver

sions est la moitié de celui des arrangemens deux à deux de

(*) J'avais donné la démonstration de M. Laplace dans la première édition de cette section.

m lettres, puisque, dans une moitié de ces arrangemens, les lettres se suivent dans l'ordre alphabétique, tandis que dans l'autre moitié elles sont dans un ordre contraire (*).

155. Soit M un arrangement quelconque des m lettres que nous considérons : permutons-y entr'elles deux lettres consécutives quelconques, sans toucher aux autres, et soit M' le nouvel arrangement qui en résulte je dis que dans M et M', les nombres d'inversions sont d'espèces différentes. En effet, les deux lettres permutées devant nécessairement formerune inversion dans l'un des arrangemens M et M', et n'en point former dans l'autre, et toutes les autres lettres demeurant, dans les deux arrangemens, disposées de la même manière, soit entr'elles, soit par rapport à celles-là, il s'ensuit que, soit en plus soit en moins, le nombre des inversions de M' diffère seulement d'une unité, du nombre des inversions de M: ces deux nombres sont donc d'espèces différentes.

156. Il suit de là que si l'on déplace une seule lettre d'une manière quelconque, l'espèce du nombre des inversions restera la même ou se trouvera changée, suivant que le nombre des places parcourues par cette lettre, sera pair ou impair. En effet, on peut concevoir que le déplacement ne s'opère que successivement, par la permutation continuelle de la lettre en question avec sa voisine, soit de droite, soit de gauche; or à chaque permutation partielle, l'espèce du nombre des inversions changera; donc quand la totalité des déplacemens de la lettre, sera effectuée, l'espèce du nombre des inversions se trouvera la même, ou elle sera changée, selon que le nombre des permutations partielles ou des places parcourues, sera pair ou impair.

(*) Pour que deux lettres soient dites suivant l'ordre alphabétique il n'est pas nécessaire qu'elles soient consécutives dans cet ordre, il suffit que celle qui est à la droite de l'autre, dans la série des m lettres, soit aussi à sa droite dans l'alphabet.