or il suit, de ce que nous avons dit plus haut, que les coefficiens de et de μ" sont identiquement nuls, puisqu'ils ne sont que la résultante des trois lettres a, b et c, dans laquelle on écrit b ou c partout où est la lettre a: donc on aura pour l'équation de condition demandée

o='a (b.3c-'c. 3b) +1a ('c. 3b—1b.3c) + a('b. 'c—'c. 2b),

c'est-à-dire, la résultante de la combinaison des trois lettres a, b, c, égalée à zéro, en observant qu'aucune des racines μ, μ, μ", etc. n'est égale à zéro. On démontrerait la même chose sur un nombre quelconque d'équations.

167. Pour démontrer l'analogie de ce qui vient d'être dit avec l'élimination des équations déterminées et complètes du premier degré, je suppose qu'on ait les trois équations

Je multiplie, comme ci-dessus, la première par (b.3c—1c.3b), la seconde par ('c. 3b-'b.3c), la troisième par ('b.'c— 'c.'b), je les ajoute ensemble, et j'observe que le coefficient de μ'et celui de μ" sont identiquement nuls dans l'équation qui en résulte, d'où je conclus

'p (3b. 3c—2c. 3b) +2p ('c. 3b—1b.3c) +3p ('b.3c—'c.3b) 'a(3b.3c—2c.3b)+aa('c.3b—1b.3c) +3a ('b. 3c—'c.b) on voit donc que le numérateur de l'expression de μ se forme du dénominateur, en y changeant a en p: on aura ensuite ou", en changeant, dans l'expression de μ, a en bouc, et réciproquement: mais en changeant dans le dénominateur de a en b, et réciproquement, on a toujours, par ce qui précède, la même quantité, au signe près: donc la valeur de sera

K

R

Rétant le dénominateur de μ, ou, ce qui revient au

même, la première résultante des trois lettres a, b, c : K se R, en y changeant ben p; donc

formera de

Ainsi l'expression de

est réduite au même dénominateur que celui de μ, et les numérateurs de ces expressions se forment du dénominateur commun R, en y changeant a en p pour, et b en p pour . C'est effectivement par ce procédé qu'on passe de la valeur x à celle de y (Ire sect., ch. XVII). On démontrerait de la même manière que l'expression de μ" a R pour dénominateur, et que son numérateur se forme de R, en y changeant c en p. Cette règle a généralement lieu, quel que soit le nombre des équations.

168. M. Laplace donne ensuite un procédé fort simple qui abrège considérablement le calcul de l'équation de condition, procédé sur lequel nous renvoyons au mémoire cité.

CHAPITRE XXVIII.

Recherche directe du terme général du développement d'une puissance quelconque d'un polynome, et méthode facile pour exécuter le développement de ces puissances.

169. QUOIQUE la question énoncée se trouve résolue dans

les n° 108 et 109 du chapitre XVIII, nous croyons cependant nécessaire de la reprendre ici pour la traiter d'une manière plus directe, plus étendue et plus appropriée aux nombreuses applications que nous devons en faire dans le chapitre suivant. Ce qui suit est tiré de deux mémoires, l'un de M. Gergonne, l'autre de M. Lavernède, consignés dans le n° VII du tome II des Annales de Mathématiques, collection précieuse par les excellens matériaux qu'elle contient.

On sait que le nombre des arrangemens de m lettres toutes différentes, est

Si plusieurs de ces lettres, au nombre de a, se changent toutes en a, il est clair que tous les arrangemens dans lesquels les lettres restantes seront disposées de la même manière, ou occuperont les mêmes places, se réduiront à un seul or il y aura autant de ces arrangemens qu'il y a de manières de permuter entr'elles les lettres, qui d'inégales qu'elles étaient, sont devenues égales; mais ce nombre est, d'après la formule pré

cédente, 1.2.3.....a, et doit conséquemment, dans le cas présent, devenir diviseur de la formule ci-dessus; et comme. le même raisonnement est applicable à tout autre groupe de lettres devenues égales, on peut établir que si l'on a lettres égales à a, 6 lettres égales à b,y lettres égales à c, etc., de manière qu'on ait

a+6+~+ etc. =m,

le nombre des divers arrangemens dont ces m lettres seront susceptibles, aura pour expression,

1.2.3.....(m-1)m

1.2.3.... X 1.2.3.. ...6 × 1.2.3.....etc.

..(A),

nombre qui exprime de combien de manières on peut écrire, les uns à côté des autres, les facteurs du monome abcr...

Ces préliminaires posés, qu'il soit question d'assigner la forme du développement de (a+b+c+...+r)", ou. plutôt celle de son terme général. Le moyen le plus naturel de parvenir à ce développement, si l'indétermination de l'exposant m et du nombre des termes du polynome, ne le rendait pas impraticable, serait de multiplier, le polynome par lui-même m-1 fois. Concevons néanmoins que l'on procède de cette manière, mais que, pour éviter les réductions qui ne laisseraient dans les coefficiens des termes réduits, aucune trace de leur origine, on convienne, dans le cours des multiplications de monome à monome, d'écrire constamment la lettre multiplicateur à la droite du terme multiplicande, comme on le ferait si l'emploi des exposans n'était pas connu, et qu'en outre on ignorât qu'il est permis, dans une multiplication, d'intervertir à volonté l'ordre des facteurs : alors comme on ne fera aucune réduction, il est aisé de voir qu'en désignant par n le nombre des termes de la racine, le premier produit aura n termes de deux dimensions, le second en aura n3 de trois dimensions, et ainsi de suite; ensorte que la puissance cherchée sera un polynome homogène de m dimensions ayant n" termes,

ou

sans coefficiens ni exposans, termes tous formés de lettres prises parmi celles du polynome proposé, et écrites une plusieurs fois. Je dis actuellement que ce produit contiendra une fois seulement chacun des arrangemens ou des mots de m lettres qu'il est possible de faire, en n'y employant que des lettres prises parmi celles du polynome proposé, et répétant chacune d'elles autant de fois qu'on voudra, sous l'hypothèse précédente. Soit, en effet,

dbba......gacl

un pareil arrangement formé au hasard d'après la manière dont on suppose que les résultats successifs ont été formés, pour que ce mot ne fît pas partie du dernier produit, ou qu'il s'y trouvât plusieurs fois, il faudrait que le mot

dbba.... .gac

ne fît pas partie de l'avant-dernier produit, ou s'y trouvât plusieurs fois par la même raison le mot

dbba.......ga

manquerait dans le précédent, où s'y trouverait plusieurs fois; et en continuant ainsi de proche en proche, on serait conduit à conclure, contrairement à l'hypothèse, que la lettre d, par exemple, manque dans le polynome proposé, ou s'y trouve plusieurs fois. Rendons à chacun de ces termes la forme ordinaire; l'un quelconque deviendra abc.... sous la condition a+ 6+ 7+ etc.=m; mais alors il ne sera plus seul de son espèce, parce que ceux qui jusque-là ne différaient de lui que par la disposition des lettres, lui deviendront absolument semblables; et comme le développement renfermait, avant d'avoir subi la modification dont il s'agit ici, tous les mots qui pouvaient être formés de cette manière, et ne renfermait chacun d'eux qu'une fois seulement, il s'ensuit que ce développement ainsi modifié, renfermera autant de termes pareils à celui que nous venons d'écrire, qu'il y a de manières