Six est la valeur entière la plus approchée de x', on fera et ainsi de suite. On observera qué B2 4AC = B'2 4AA' B"2 4A'A" etc.; donc la quantité radicale sera la même dans toutes les valeurs de x, x, x", etc. Ainsi, désignant B2-4AC par D, on aura les transformées successives. A'x' + B'x' + A = 0, A"x" + B"x" + A' = 0, A′′x"2 + B′′x" + A"= 0, etc. et ce tableau des valeurs de A', A", A", etc., B', B", B", etc., et a, a, a", etc. -B+VD 2A A′ = Ax2 + Bx +C | B'= 2Aλ + B | x A"= A'x2+ B'x+A B" 2A'x+B′ x". A"A"a"B"x"+A' E" 2A"x"+ B" " où a<, x'<, etc. indiquent qu'on doit prendre pour à le plus grand nombre entier contenu dans mais parce que -B+VD etc.; > 2A B' — 4AA'D=B"- 4A'A"B"- 4A"A" etc., on voit que les valeurs de A', A", A", etc. peuvent se déduire Nous supposerons que la proposée n'ait qu'une seule racine réelle positive, auquel cas chacune des transformées en x', x", etc. n'aura qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité considérons la transformée et soit A(m) (x())+B(m)x(m) + A(m−1)=0...........(1), la partie entière de la racine plus grande que l'unité : la transformée suivante sera A(m+1) (x(m+1))2 + B(m+1)x(m+1) + A(m)o....(2), et on aura, entre les coefficiens et le nombre, la relation A(m+1)= A(m2)2 + B(m) x + A(m-1)....(3). Mais la transformée (1) ayant une seule racine plus grande que, si dans cette transformée on écrit successivement et la limite des racines supérieures positives, on aura deux résultats de différens signes (Ire sect., chap. XXVII); or la limite supérieure donne un résultat de même signe que A(m), et la substitution de donne, d'après (3), A(m)2 + B(m) + A(m−1) = A(m+1); donc Am) et A(m+1) auront des signes différens, et l'on démontrera de la même manière que, dans les transformées suivantes, les signes changeront en passant de A(+1) à A(m+s), de A(m+2) à A(m+3), etc. Cela posé, parce que et que les produits A(m)A(m+1), A(m+1)A(m+2) sont tous négatifs, nécessairement B(m+1) < VD, B(m+2) <VD, etc.> et d'ailleurs les nombres A(m), A(m+1), etc. étant tous entiers; on aura encore A(m) <D, A(m+1) <D, etc.; et comme il ne peut y avoir qu'un nombre déterminé et fini de nombres entiers et moindres que D et que VD, les coefficiens B(m+), B(m+2), etc., A(m), A(m+1), etc. ne pourront avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes, ensorte que si l'on pousse ces séries à l'infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois; et par la même raison, il faudra qu'une même combinaison des mêmes termes, se reproduise une infinité de fois ; d'où il suit qu'on aura, par exemple, D=B(m)2-4A(m−1)A(m)= B(m+n)? — 4A(m+n−1) A (m+n) — etc. ; donc, à cause des deux égalités ci-dessus, on aura et dès-lors la fraction continue sera périodique. Nous appliquerons ce qui vient d'être dit au développement en fraction continue de la racine carrée de 3, pour laquelle on a en observant que les nombres a, a, a", etc. doivent être positifs. On s'arrête ici à cause de B' = B', A" = A,* d'où A' = A', ensorte que n=4, λ=' et par conséquent la fraction continue périodique, racine carrée de, est On fera bien de consulter sur cette matière, le para graphe Ier des Additions à l'Algèbre d'Euler, par Lagrange, le chapitre VI de la Résolution des Équations numériques, par le même, et la Théorie des Nombres, par M. Legendre. CHAPITRE IV. Suite de l'analyse indéterminée. 24.J ́A1 déjà fait remarquer (Ire sect., chap. XVIII) qu'il suffisait de connaître deux valeurs quelconques p et q de x et y, pour obtenir tous les systèmes de solution en nombres entiers et positifs de l'équation et que ces solutions étaient généralement exprimées par ces formules Mais la recherche des nombres p et q est laborieuse, si ce n'est dans le cas de c=1, ou de l'équation b Or si l'on convertit la fraction en fraction continue a par la méthode connue, et qu'on forme la série des fractions prin b cipales convergentes vers la dernière de ces fractions sera a |