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TABLE DES CHAPITRES

CONTENUS DANS L'ANALYSE ALGÉBRIQUE.

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vi

TABLE DES CHAPITRES.

CHAP. XIX. Des séries qui expriment le sinus , le cosinus , etc. par l'arc ,

ct l’arc par le sinus , la tangente, et conséquences qui en résultent, 406

Chap. XX. Extension du théorème démontré (chap. premier ) aux fonctions

logarithmiques, exponentielles et circulaires ,

441

Chap. XXI. Formules diverses ,

441

Chap. XXII. Développement des sinus, cosinus et tangentes des multiples

d'un arc et d'une puissance du sinus et du cosinus. Décomposition des

séries du sinus et du cosinus d'un arc en facteurs binomes, d'où l'on déduit

l'expression de la demi-circonférence donnée par Wallis. Formules trigo-

nométriques nouvelles ou peu connues ,

450

Chap. XXIII. Sommation des puissances des termes d'une progression par

équi-différences, des nombres figures, de leurs inverses , et des produits de

la forme 1.2.3......0,1.2.3.....(p to 1), etc. Des sommes des produits

différens qu'on peut former avec tous les termes d'une progression par

équi-différences , pris 2 à 2, 3 à 3, 4 à 4 , etc., et résolution des équa-

tions dont les racines forment une telle suite ,

472

Chap. XXIV. Décomposition des fractions rationnelles,

490

Chap. XXV. Des suites récurrentes,

50r

Cap. XXVI. Transformation des fractions ,

528

Caar. XXVII. Développement de la théorie donnée par M. Laplace, pour

l'élimination au premier degré,

541

Chap. XXVIII. Recherche directe du terme général du développement d'une

puissance quelconque d'un polynome, et méthode facile pour exéculer

le développement de ces puissances,

556

Chap. XXIX. Théorie élémentaire des probabilités,

568

FIN DE LA TABLE...

J'a

'ai transporté dans la troisième édition de la première Section de l'Algèbre, quelques Chapitres de la seconde Section, qui en faisaient naturellement partie , ensorte qu'on ne trouvera ici que des choses absolument étrangères au programme d'admission à l'École Polytechnique : une refonte totale de la première édition et des additions considérables font de ce second volume un ouvrage entièrement neuf, dont je vais rendre compte le plus succinctement possible.

Ce Traité se compose de vingt-neuf chapitres. Le premier sert d'introduction au second, qui a pour titre : des Racines imaginaires, et qui est , à quelques développemens près , extrait de la Résolution des Équations numériques de l'illustre Lagrange. Dans le troisième chapitre, on trouve la suite et le complément de l'importante doctrine des fractions continues dont j'ai reporté les élémens dans la première Sec

où ils devenaient nécessaires à l'effet d'estimer le degré précis d'approximation sous lequel on obtient chaque racine incommensurable , en ne prenant qu’une portion de la fraction continue et infinie qui la représente exactement. Le quatrième chapitre, qui est très-étendu, contient, 1° la suite de l'Analyse indéterminée déjà ébauchée dans la première Section;

tion,

2° la résolution de ce problème général de l'Analyse indéterminée qui a pour énoncé : Étant données entre des inconnues des équations du premier degré en moindre nombre que ces inconnues , trouver pour ces inconnues, les valeurs entières et rationnelles les plus générales qui puissent satisfaire aux proposées ; 3° assigner tous les nombres entiers qui peuvent satisfaire à l'équation la plus générale du second degré entre deux inconnues x et y , et les plus petits nombres qui, substitués pour ces mêmes lettres x et y , rendent la même fonction la plus petite possible. Le chapitre cinquième, qui a pour objet l'évaluation des sommes des puissances entières positives et négatives des racines d'une équation, prépare au suivant où l'on démontre que toute fonction symétrique ou invariable des racines d'une équation peut toujours être exprimée en coefficiens de cette équation. Le huitième chapitre a pour titre: du degré de l'équation finale donnée par l'élimination de toutes les inconnues, moins une, entre un nombre quelconque d'équations de degrés quelconques et le même nombre d'inconnues : il contient, outre la démonstration du théorème énoncé, due à M. Poisson, une méthode donnée par Lagrange, qui a l'avantage de réduire l'élimination des inconnues à des formules générales et très-simples, et une autre méthode pour le même , objet, de M. Kramp, Professeur-Doyen de la Faculté des Sciences de Strasbourg. Le chapitre neuvième offre quelques théorèmes sur les racines de l'équation gom – 1=0, auxquels nous parvenons

l'utilité que

par une autre voie dans le onzième chapitre, et ce théorème de Fermat démontré par Euler, savoir, que p étant un nombre premier, et a un nombre moindre que p, le nombre ap! - I est nécessairement divisible par p. Les théorèmes établis dans ce chapitre étant nécessaires et même indispensables pour l'intelligence des chapitres suivans, nous avons cru devoir plutôt les réunir en un corps de doctrine, que

de les donner à mesure que le besoin l'exigerait. Le dixième chapitre , l'un des plus étendus de l'ouvrage, moins peut-être pour l'utilité pour la dignité de la Science , est consacré à la résolution générale des équations. Lagrange, après avoir examiné et comparé les différentes méthodes connues et relatées dans ce chapitre, pour la résolution des équations des quatre premiers degrés, a trouvé que ces méthodes se réduisent toutes , en dernière analyse, à employer une équation secondaire qu'il a appelée équation résolvante , et dont il a cherché, à priori, le degré et les diviseurs qu'elle peut avoir, et il a fait voir pourquoi cette équation d'un degré plus élevé que la proposée , est toujours susceptible d'abaissement pour les équations des troisième et quatrième degrés, et peut servir à les résoudre. On trouve plus loin une application de cette méthode à la résolution des équations binomes. Je donne dans le chapitre onzième, la résolution par les lignes trigonométriques des équations a"=0,3" — 2px" +9=0, la construction des racines de ces équations , due aux géomètres Cotes et Moivre ,

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