6 und zwar ergiebt sich hierbei für 2 die Gleichung d. h. (13) Ihre Wurzeln sind (14) (15) 22 — [wo。2 — f' (ro)], -2 rowod 2 2 rowo, 10222 22 {22 + [3 wo2 + f2 (ro)]}= 0. λ=0; λ=0; λ= ±√− [3 wo2 + f' (ro)]• Den beiden gleichen Wurzeln 20 entspricht statt (12) die Form der Lösung x = А1+ А2t; y = B1+ B2t und zwar, wie man beim Einsetzen in (11) findet, mit einer solchen Abhängigkeit der Constanten von einander, dass schliesslich x=A; y = B (18) (16) Setzt man zur Abkürzung (17) so hat die entsprechende Lösung die Form wo2 — f' (ro) ist, worin A und B kleine Grössen bezeichnen, d. h. solche Grössen, deren Quadrate und Producte man vernachlässigen kann. =0, Zur Stabilität der Bewegung ist es notwendig, dass die beiden anderen Wurzeln & rein imaginär sind. Man erhält also die Bedingung 3 wo2 + f' (ro) >0. C und D sind kleine Grössen. x2 = 3 wo2 + f' (ro), 2 At und zwar ergiebt sich specieller nach ausgeführter Bestimmung der gegenseitigen Abhängigkeit der Constanten x = С1 cos xt + D1 sin xt, 19) tion 19) (22) (21) (20) Die allgemeine Lösung des Systemes (11) ist endlich x=A+C cos xt + D sin xt, wo2 — f' (ro) y= B. 2=E+ Ft. At+ Auch E und F sind kleine Grössen. 4. Die Ausdrücke (19) zeigen, dass x, y und z bei allgemeinen Werten der Integrationsconstanten mit wachsender Zeit nicht klein bleiben. Die ursprüngliche Bewegung ist also nicht stabil in dem festgelegten Sinne. Ersetzt man aber die Bewegung in der gegebenen Schraubenlinie durch eine andere derartige Bewegung mit den Gleichungen 2 @ {D cos xt - Csin xt}, rox r = ro+A, f' 0 = B + {w。 - "27" (ro) A} t, Ꮎ . 2 rowo 5=E+ (k ∞。+F)t, so bleibt die Abweichung der gestörten Bewegung, mit den Gleichungen r=ro+A+C cos xt + D sin xt, 0 = B + { w2 = "02 = 1 (ro) A t + 2 rowo 2 w。 (D cos xt — C' sin xt}, 102 5=E+(kw。+F)t, von der Bewegung (20) stets klein. In der Terminologie von ROUTH 1) heisst die Bewegung (20) eine stationäre Parallelbewegung zu der ursprünglichen Bewegung (3). Die gestörte Bewegung besteht in kleinen Oscillationen um die Parallelbewegung, und der Vorgang könnte noch in einem erweiterten Sinne als stabil bezeichnet werden. in strengem Sinne stabil sei, müssen die die erste Potenz der Zeit enthaltenden Glieder in Damit die ursprüngliche Bewegung x, y und z, die sog. seculären Glieder verschwinden. Hierzu ist es in unserem Falle erforderlich, dass A und F gleich Null werden. Die Schraubenlinie der Parallelbewegung ist dann durch eine kleine Drehung um die -Axe und eine kleine Translation längs dieser Axe aus der gegebenen Schraubenlinie entstanden. Ihr Radius darf sich aber nicht ändern. Hierdurch wird der anfänglichen Störung eine gewisse Beschränkung aufgelegt. Wir wollen speciell annehmen, dass sie in einem zur Zeit t=0 erfolgenden schwachen Stosse mit den Componenten xo', yo', zo' besteht. Dann ergiebt sich aus (19) mit A=0 und F=0 noch C=0, E=0, yo'=0, zo'=0, sowie 2 w。xo' = 1) E. J. ROUTH. A Treatise on the stability of a given state of motion, particularly steady motion, London 1877, p. 47. ་ 8 Die Stossrichtung muss also mit der Richtungslinie des Radius r zusammenfallen. Man erhält dann keine Änderung von = kwot und als Projection der gestörten Bewegung auf eine zur -Axe senkrechte Ebene (23) (24) (27) zwischen gleichzeitig schwingt Die Länge des Radius r oscilliert folglich mit der vollständigen Periode | x0′′. | xo'l und einem kleinsten Werte ro x einem grössten Werte ro+ x der Radius um einen sich gleichförmig drehenden Radius in derselben Periode, mit der grössten 4 0001x01 rox2 Abweichung Dem Bogen des Grundkreises zwischen zwei zeitlich auf einander folgenden Schnittpunkten desselben mit der gestörten Bewegung entspricht am Kreismittelpunkte der Winkel 4 w。xo' WOT √3 wo2 + f (ro) 2 1 sin2xt. n+30 oder n>- 3. 5. Als ein Hauptergebnis der Untersuchung ergiebt sich die Bedingung (16) der Stabilität bei passend gewählter Störung. Mit Anwendung von (10) kann man der Bedingung (16) auch die Form (25) 3 f (ro) + rof' (ro) > 0 geben. Wäre beispielsweise die anziehende Kraft proportional einer Potenz des Radius, f(r) = μr", so würde aus (25) folgen (26) η 5=karc tg = ko. π In diesem Falle ist der Winkel (24) gleich √n + 3 Die Bedingung (26) der Stabilität einer gleichförmigen Bewegung in einem Kreise kommt schon vor in THOMSON und TAIT'S Handbuch der theoretischen Physik, Art. 350. 6. Nachdem wir die räumliche Stabilität der Bewegung eines Punktes in einer Schraubenlinie untersucht haben, wollen wir den Fall betrachten, dass der Punkt sich auf einer vollkommen glatten Schraubenfläche bewegt und unter dem Einfluss derselben zur Axe dieser Fläche senkrechten Kraft f(r) wie vorher eine Schraubenlinie mit constanter Geschwindigkeit beschreibt. Die Gleichung der Schraubenfläche sei Mitr und als unabhängige Veränderliche erhält man dann die kinetische Energie der Bewegung eines Punktes von der Masse 1 in der Schraubenfläche (28) (34) (30) (32) L die Gleichungen der gleichförmigen Bewegung in einer Schraubenlinie (29) r = ro; 0 = wot; die LAGRANGE'sche Function T: die Gleichungen der gestörten Bewegung (31) und den Ausdruck von L in dieser Bewegung 1 = = {(x22 + (ro2 + k2 + 2 r。x + x2) (wo+y′) 2} Setzt man jetzt (35) 1 L=T+U+ Const. == 1) {?'2 + (r2 + k2) 0′2} — S′′ f (r) dr + Const. ; r = ro+ x; 0 = w1 t + y = · Lo + (ro2 + k2) woy' + [r。 wo2 − f(ro)] x Alle Coefficienten dieses Ausdruckes sind unabhängig von t. Das Glied mit der ersten Potenz von x muss verschwinden, d. h. es ergiebt sich als Bedingung der stationären Bewegung (33) row。2-f(ro) = 0, identisch mit (10) und von demselben sachlichen Inhalt. Ferner folgt 1 1 1 + = x22 + = (ro2 + k2) y'2 + — [wo2 — f' (ro)] x2 +2 row。xy' + 2 OL dx Die Variationsgleichungen sind dann nach (6) 1 f "'ƒ (1) dr — f (ro) x — f′ (ro) x2 + Const. +........ 2)-fre f' . .... 2 = = [w。2 — f' (ro)] x+2 rowoy' ; OL =x'; dy' = (ro2 + k2) (wo+y') +2 r。wox. +(ro2+k2) day aL dy dy dt =0. =0; 9 10 so erhält man für λ die LAGRANGE'sche Determinantengleichung 22 — [w。2 — f' (ro)], — 2 rowod (ro2+k2) 22 d. h. (36) Ihre Wurzeln sind (37) (39) Setzt man noch zur Abkürzung 2 k2 k2 - 3 ro2 λ=0; λ=0; λ=±√ k2 + √ √ 2 2 2 ro2 = = 0. 22 {(ro2 + k2) [22 + f' (ro)] + wo2 (3 ro2 — k2)} = (40) Für die Stabilität der Bewegung ist es notwendig, dass die beiden letzten Wurzeln rein imaginär sind. Hieraus folgt die Bedingung (38) (k2 + ro2) f' (ro) + (3 r。2 — k2) w3 >0. x2 so ist die allgemeine Lösung der Gleichungen (34) y=B 2 k2 ro2 + k2 wo2 + f' (ro), 2 x=A+C cos xt+D sin xt, - f' (ro) 21000 = | x=A1 + A2t + C, cos xt + D, sin xt, y = B1 + B2t + C2 cos xt + D2 sin xt, worin zwischen den acht Constanten vier Relationen bestehen. Man erhält nach ausgeführter Rechnung ähnlich wie in (19) das System ·wo2 - f' (ro). At+ 2 rowo {D cos xt — C' sin xt}. 7. Die Discussion der Gleichungen (40) ist ähnlich der Discussion im Art. 4. Wegen des Auftretens des seculären Gliedes in y besteht nicht Stabilität in strengem Sinne im Allgemeinen. Das seculäre Glied verschwindet, wenn A=0 ist oder auch wenn w2- f′ (ro) = 0. Die letztere Annahme führt mit Beachtung der Gleichung (33) zu dem speciellen Kraftgesetze (41) f(r) = ur. = Diese Bemerkung gilt natürlich auch in Bezug auf die Untersuchung im Art. 4. Das Kraft- |