TOM. XLI. N:o 2.

HERSTELLUNG AUTOMORPHER POTENTIALE

BEI

BELIEBIGEN HAUPTKREISGRUPPEN

VON

SEVERIN JOHANSSON.

HELSINGFORS 1912,
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT.

Einleitung.

Die Existenz der automorphen Funktionen wurde von Poincaré 1) dadurch nachgewiesen, dass er gewisse Reihen analytisch bildete, deren Quotienten direkt automorphe Funktionen darstellen. Klein 2) dagegen gründet seine Anschauungen auf die allgemeinen Riemann'schen Existenztheoreme, deren Beweise auf Schwarz und Neumann zurückgehen. Bei diesen Anschauungen tritt als erste Aufgabe auf, den Nachweis zu erbringen, dass es automorphe Elementarpotentiale zur vorgelegten Gruppe giebt.

Diese Aufgabe wird einfach gelöst, wenn die vorgelegte Gruppe einen Fundamentalbereich besitzt, den wir mit endlich vielen Kreisscheiben und Sectoren dachziegelartig überdecken können. In der vorliegenden Abhandlung dagegen, die sich ausschliesslich mit Hauptkreisgruppen beschäftigt, wird jede einschränkende Voraussetzung über den Fundamentalbereich der Gruppe vermieden. Es handelt sich nämlich daselbst um die Lösung des folgenden Problems:

Es sei in der n-Ebene I eine beliebige innerhalb des Einheitskreises eigentlich diskontinuierliche Hauptkreisgruppe, die das Innere des Einheitskreises in sich transformiert. Weiter seien zwei Systeme in Bezug auf die Gruppe I aequivalenter Punkte gegeben. Es gilt zu zeigen, dass es eine eindeutige, in Bezug auf I automorphe Potentialfunktion giebt, die in jedem Punkt no

1

des einen Systems unstetig wird wie log

η

und in jedem Punkt n des anderen Systems no1 unstetig wie login-n; an jeder von den genannten Punkten verschiedenen Stelle innerhalb des Einheitskreises soll die gesuchte Funktion regulär sein.

1) Vgl. Poincaré: Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Acta math. Bd 1 pg. 193, und Mémoire sur les groupes kleinéens, Bd 3 pg. 49.

2) Klein: Neue Beiträge zur Riemann'schen Funktionentheorie, Math. Ann. Bd 21 pg. 141. E. Ritter: Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlechte Null, Math. Ann. Bd 41 pg. 1.

Vorbereitende Sätze über Potentiale.

1. Um den Beweisgang später nicht zu unterbrechen, werde ich einige Sätze über Potentiale vorausschicken.

Vor allen Dingen werde ich bei der Untersuchung von dem Harnack'schen Prinzip Gebrauch machen. Bei dem Harnack'schen Prinzip handelt es sich um eine in einem Gebiet regulāre Potentialfunktion, die daselbst überall das gleiche Zeichen hat, z. B. das positive. Ist G dieser Bereich und u die genannte Potentialfunktion, ist weiter G' ein ganz innerhalb G liegender Bereich und P eine Stelle dieses Bereiches, so besagt das genannte Prinzip, dass es eine von der Auswahl der Funktion u völlig unabhängige Konstante q<1 giebt, die so beschaffen ist, dass in dem ganzen Bereich G' die Beziehung

q • u (P) < u <.

•

stattfindet. Die Konstante q hängt von der Auswahl der Bereiche G und G' und des Punktes Pab. Aus diesem Prinzip folgt unmittelbar, dass, wenn die Potentiale

(1)

U1, U2,

1

2πη,

in dem Bereich G eine zunehmende oder abnehmende Reihe bilden, so dass für alle Werte von n der Unterschied u,+1-u, innerhalb G entweder positiv oder negativ ist, die Reihe der Potentiale u (n = 1, 2, ...) in dem Bereich G' entweder gleichmässig konvergiert oder divergiert, jenachdem die Reihe der Zahlen u (P) (n = 1, 2, . . .) gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert oder nicht.

п

2. Weiter werde ich folgende für die spätere Entwickelung erfolgreiche Sätze vorausschicken.

'n

I. Es seien Ko, K1 und K' drei konzentrische Kreise mit den Radien r。<r1<r. Ist dann U eine im Kreisring (K。 K') reguläre und eindeutige Potentialfunktion, die längs der Peripherie von K, verschwindet, so besteht die Gleichung

Udo log

··u (P)