In dieser Formel bedeutet

d U
dv

die Ableitung der Funktion U an einem Punkt der

Kreislinie Ko, genommen in der Richtung der innern Normale des Kreisringes (K, K1). do bedeutet das Bogenelement auf dem Rand von (K。 K').

Der Beweis des Satzes ergiebt sich einfach, wenn wir in die Green'sche Integralformel

die Werte

(2)

eintragen, wo r den variablen Abstand eines Punktes von dem gemeinsamen Mittelpunkt unserer Kreise bedeutet, und dann die Integration über die Begrenzung von (K, K,) ausführen. Weil auf K, die Funktion u=U=0, während vlog ist, so erhalten wir auf die

0

ser Kurve den Beitrag

log

u =

Nach der Green'schen Integralformel ist also

=U, v log

108". Ude.

log

ασ.

δν

1

; folglich giebt die Integration daselbst den Wert

r

1

Udo = log

2π

do=0

Udo

3. Aus dem Satz I folgt unmittelbar die Gleichung

1 2πη,

Der hiermit bewiesene Mittelwertsatz giebt eine sehr einfache Beziehung zwischen dem Mittelwert der U-Werte auf K, und den normalen Ableitungen auf Ko

d'o

Udo 0

=log

1

Το

do, q. e. d.

wo die rechte Seite von der speziellen Auswahl der Funktion U unabhängig ist. Also stellt auch die linke Seite eine von U unabhängige Zahl dar.

Behält U im Ringgebiete (K, K') dasselbe Vorzeichen, z. B. das positive, so kann aus dieser Tatsache eine für die folgende Entwickelung wichtige Folgerung mit Hilfe des Harnack'schen Prinzips abgeleitet werden. Es sei P ein ganz beliebiger Punkt auf der Kreislinie K1 und U(P) der Wert von U in diesem Punkt. Dann besteht folgender Satz: .

(3)

II. Ist U eine im Kreisring (KK') positive, reguläre und eindeutige Potentialfunktion, die auf K。 verschwindet, so giebt es eine von der speziellen Auswahl der Funktion U unabhängige Zahl q<1, die so beschaffen ist, dass

und daher

q

(5)

q log

Weil nämlich U in dem ganzen Kreisring (K, K') ihr Vorzeichen behält, so ist nach dem Harnack'schen Prinzip auf der ganzen Kreislinie K1

wo q (<1) von U unabhängig ist. Aus diesen Ungleichungen folgt durch Integration

1

q U (P) < 2 r, √ U a « <<
a r1
[

do <!

K1

1

ZAT, Jude

Udo

K1

U(P)

1

A fou

V

Ko

<

q U (P) < U <÷U (P),
10(P

U (P)

275

S

π

do

1

U

2. 30 de
S

π. δν
K。

woraus schliesslich auf Grund von (2), die Ungleichungen (3) folgen.

unterhalb einer endlichen Grenze bleiben.

K.

4. Der Satz II giebt unmittelbar Anlass zu folgendem Konvergenzsatz:
III. Es sei

(4)

eine zunehmende Reihe von Potentialfunktionen, die sämtlich auf der Kreislinie K, verschwinden und in dem Kreisring (K, K') positiv, regulär und eindeutig sind. Dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz dieser Reihe, dass die ebenfalls zunehmenden Zahlen

q

Ulim U

n

U (P)

1

<
2 π

Findet Konvergenz statt, so verschwindet die Grenzfunktion

δν

do <...

auf der Kreislinie K, und es ist auf dieser Linie

a U δν

(6)

Der erste Teil des Satzes folgt unmittelbar aus dem Satz II. Denn nach dem Harnack'schen Prinzip konvergiert oder divergiert die Reihe (4) jenachdem die Zahlen

d U..

n

= lim
n = ∞ dv

U1 (P) <U2 (P) <...<U (P) <...

2

n

unterhalb einer endlichen Grenze liegen oder ins Unendliche wachsen. Aus dem Satz II folgt aber, dass die Reihen (5) und (6) gleichzeitig unterhalb einer endlichen Grenze bleiben oder ins Unendliche wachsen.

n

21=∞

Wenn nun die Reihe der Funktionen U gegen eine Grenzfunktion U= lim U konvergiert, so ist diese Funktion U im Innern von (K, K') eine reguläre eindeutige Potentialfunktion. Bilden wir jetzt diejenige Potentialfunktion, die auf K。 verschwindet und auf der Kreislinie K1 die Werte von U annimmt, so ist im Kreisring (K, K1) die Funktion w>U„ und also in demselben Gebiet >U. Diese Beziehung besagt, dass die Werte von U gegen Null herabsinken, wenn wir uns der Kreislinie K。 nähern.

n

Ist nun K' das Spiegelbild von K' in Bezug auf die Kreislinie Ko, so sind bekanntlich die Potentiale U, und U, weil sie längs K, verschwinden, in den Bereich (KK) fortsetzbar, wobei jede dieser Funktionen in zwei durch die Spiegelung zusammenhörenden Punkten entgegengesetzte Werte aufweist, und in dem Bereich (K' K') regulär und eindeutig ist.

Ist beliebig klein, so können wir sicher no so gross wählen, dass für n≥n。 auf der Kreislinie K1

(7)

U - U ̧ < ε ;

n

daraus folgt, dass auf der durch Spiegelung von K1 entstandenen Kreislinie K1

(8)

U-U < ε

ist. Die Ungleichungen (7) und (8) besagen, dass in dem ganzen Kreisring (K, K1)

U — U„ | < 8,

n

oder anders ausgedrückt, dass die Potentiale U, in dem ganzen Bereich (K, K1) gleichmässig gegen U konvergieren.

n

Da K. eine innere Kurve dieses Bereiches ist, so folgt, dass längs dieser Kurve die Ս. dU Grenzfunktion U eine normale Ableitung hat und dass gleichmässig in übergeht. dv δν Aus dem letzten Ergebnis können

Hiermit ist der Satz III vollständig bewiesen. wir schliessen, dass

(9)

do lim

n = ∞

ndo

" δν

eine Gleichung, die bei der folgenden Untersuchung oft zur Anwendung kommt.

Wir beweisen weiter folgende Sätze über Wertschwankungen von Potentialen.

IV. Es seien K。, K1 und K' drei konzentrische Kreise mit den Radien r。<ri <r'. Weiter sei W eine im Kreisring (K, K′) incl. K。 und K' reguläre und eindeutige Potentialfunktion, die auf Ko verschwindet und deren Werte auf K' den Mittelwert Null haben, so dass

0

5.

1st dann DW die Schwankung von W auf der Kreislinie K', so besteht auf der Kreislinie K1 die Beziehung

(10)

oder, weil D, WDR, W ist, dass

K

K'

(11)

K'

8

|W|<=Dr, W. arctg

K

π

|

Wir bezeichnen mit W eine Potentialfunktion, die für die ganze Kreisfläche K' erklärt ist und auf der Kreisperipherie K' mit W übereinstimmt. Diese Funktion hat dann im Mittelpunkt den Wert

der nach unserer Voraussetzung gleich Null ist. Folglich hat diese Funktion auf jeder mit unseren Kreisen konzentrischen Kreislinie innerhalb K' sowohl positive als negative Werte. Nach einem bekannten Satz 1) über Potentiale, die in einer Kreisfläche regulär sind und in dem Kreismittelpunkt verschwinden, können wir schliessen, dass auf der Kreislinie K1

| W

1

2AY √ was,
S

Wdo,

K

D., W. arctg

K'

21

W\<=DKW. aretg†.

K'

Die Funktion W-W verschwindet auf der Peripherie von K', weil W und W daselbst dieselben Randwerte haben. Auf der Peripherie von K, ist W=0, woraus folgt, dass die Werte von W-W daselbst mit - W übereinstimmen. Wir können aus dieser Tatsache den Schluss ziehen, dass der maximale Wert von W-W| im Kreisring (K, K′) sicher nicht grösser ist als der maximale Wert von W❘ auf dem Rand von K。. Dieser maximale Wert ist seinerseits kleiner als der maximale Wert von |W| auf der Kreislinie K1. Also ist nach (11) für alle Punkte im Kreisring (K, K') und infolgedessen auch für alle Punkte auf der Kreislinie K1

(12)

W-W<DW. arctg.

!) Vgl. Harnack: Das logarithmische Potential S. 65. Ernst Lindelöf: Mémoire sur certaines inégalités dans la théorie de fonctions monogènes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel pg. 16 Acta Societatis Scientiarum Fennicae, Tom. XXXV, N:o 7.

K'

und infolgedessen

(13)

Nun ist innerhalb (K。 K')

W│≤│W│+│W — W│,

Aus (11), (12) und (13) folgt unmittelbar, dass auf der Peripherie von K1

(15)

W=W+(W—W)

(16)

8

|W|<DW. arctg

oder

q. e. d.

Ko

V. Es sei wo eine im Kreisring (K, K') reguläre und eindeutige Potentialfunktion, deren Schwankung auf K。, Dã ̧ w。, grösser ist als die Schwankung auf K, D, wo. Weiter sei w eine in der ganzen Kreisfläche K' reguläre Potentialfunktion. Soll dann die Schwankung von w + w。 auf Ko, Dk (w + w。), ebenfalls grösser sein als die Schwankung auf K, DÃ, (w + w'。), so muss sein

Κ'

Ko

K

(14)

Dx, w

K'

K'

wo q eine nur von r。 und r' abhängende, zwischen 0 und 1 liegende Zahl ist 1).

K

Nach der Voraussetzung ist D, (w + w。) < Dk (w+wo). Andererseits ist D, w< ·Dx, (w + wo) + D, wo, woraus erhellt, dass

K

K'

K'

D wo + Dx, Wo

Ko

K

1 զ

Weiter ist D. (w + w。) ≤ Dx, w+DK, wo. Da aber winnerhalb K' regulär ist, so besteht nach einem allgemeinen Satz aus der Potentialtheorie 2) die Beziehung DwqD, w, wo

K'

D w<Dx (w+wo) + DÃ wo⋅

K

K'

4

q=arctg ist und also zwischen O und 1 liegt. Also ist

1) Vgl. P. Koebe: Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (vierte Mitteilung) S. 5. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen 1909.

2) Vgl. Harnack: Das logarithmische Potential S. 65.