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schwachen Vergleichsterne, die für Juli 10—21 zu Grunde liegen, bei dem tiefen Stande weniger gut als sonst gelungen sind, worüber eine neue Bestimmung derselben Auskunft geben wird. Das allgemeine Resultat der hier vorgelegten Rechnungen, dass die Beobachtungen der Themis eine Vergrösserung der Besselschen Jupitersmasse um ihres Betrages verlangen,

100000 kann durch die Unsicherheit des achten Ortes nur unwesentlich beeinflusst werden. Die Auflösung der Breitengleichungen giebt endlich noch:

do =-do=+2' 16"46+59904

:

di=+1"007 + 0*095 Wahrscheinlicher Fehler einer Breite=+0“988

Bis auf Weiteres denke ich die hier gefundenen Verbesserungen der Elemente für die Vorausberechnungen nicht zu benutzen, da die Elemente (P) dieselben der Hauptsache nach schon enthalten, und für eine geraume Zeit genügen werden, um den Ort des Planeten innerhalb einer Zeitsekunde wiederzugeben. Ueberdiess wird die zu erwartende Verbesserung des achten Normalortes noch eine Modification der Endresultate herbeiführen.

Berichtigungen.
Pag. 155 Zeile 5 v. o. 1: dadurch nur in geringem Grade afficirt werden kann.
Pag. 161 Zeile 7 v. 0. die Vorzeichen von 8L sind zu ändern.

)f

Soient ru, ra, ... In les rayons vecteurs menés d'un point o à d'autres points

12, rn ( ou centres fixes A1, A2, ... An, situés, comme on veut, dans l'espace; on peut se demander, quelle doit être la position du point 0, pour qu'une fonction de ces rayons

f(11, 12, ... 7,) prenne une valeur extrême, cest-à-dire qu'elle devienne maximum ou minimum.

Il convient de faire observer avant tout que la question ainsi posée n'est autre chose qu'un problème de mécanique traduit en termes de géométrie. Concevons, en effet, que le point ( soit attiré vers les centres A1, A2, ... Ar par des forces représentées par les dérivées partielles

df df df,

dr dr si le point ( vient à se déplacer suivant une direction quelconque, l'élément du travail exécuté par l'ensemble de ces forces sera

df

= - df

2

df dri

dri

af diz: diz

dr,

drn

et le travail total

ou égal à l'accroissement correspondant de la fonction s, pris en signe contraire. Lorsque cette fonction est minimum, la différence Af est positive pour tout déplacement très-petit du point 0; lorsqu'elle est maximum, 4f est au contraire négative. Dans le premier cas le travail des forces est donc toujours négatif, et le point mobile ne peut se déplacer sans qu'il y ait une résistance à vaincre; dans le second cas le travail est toujours positif, en sorte que le point a une tendance à se mouvoir dans une direction aussi bien que dans une autre, et que, une fois déplacé, il ne peut revenir à sa première position sans éprouver une certaine résistance. Il en résulte que les forces qui agissent sur le point mobile et qui sont représentées par les dérivées partielles de la fonction f, se font équilibre, lorsque le point a une position telle que cette fonction f est maximum ou minimum.

L'équilibre est stable dans le cas du minimum; dans celui du maximum il
est instable.

Pour revenir à notre problème, imaginons-nous que le point mobile se
déplace à partir de suivant une direction arbitraire d'une quantité finie
mais très-petite x; la fonction f prendra un accroissement 41, qu'on peut
exprimer par la série

df d2f Af = 3+

x2 +.

d.x2

dx'

Pour plus de simplicité, il sera convenu de regarder la distance x comme
positive et de définir sa direction par les angles 01, Ola, ... On qu'elle fait
respectivement avec les rayons rı, 12,... r, menés du point ( aux centres
fixes. Pour que la fonction f prenne au point o une valeur extrême, il faut
et il suffit que la différence Af ne change pas de signe quand on fait tour-
ner la droite x tout autour du point 0. Ce principe général renferme en
particulier les conditions suivantes:

1:0 La dérivée première tant qu'elle n'est pas nulle, doit conserver
le même signe tout autour du point 0.

2:0 Si la dérivée du premier ordre est constamment nulle, la dérivée seconde ne doit pas changer de signe.

3:0 Si la dérivée première s'évanouit seulement pour certaines directions du déplacement x, sans changer de signe, il faut que la dérivée seconde prenne pour ces mêmes directions le signe dont la dérivée première est affectée en général.

4:0 Il peut arriver que les deux dérivées disparaissent en même temps. En ce cas l'existence d'un maximum ou minimum dépend du signe de la dérivée du troisième ordre, et ainsi de suite.

Toute cette analyse suppose du reste que les dérivées dont il s'agit, ne deviennent pas infinies au point 0.

Les deux dérivées qui entrent principalement dans cette discussion, peuvent s'exprimer de la manière suivante