โ

Désignons par r un des rayons ru, ru, ... In indistinctiment, para l'angle qu'il fait avec la droite x, et soit u la valeur que ce même rayon prend à la suite d'un déplacement du point o le long de la droite x; nous aurons (0)

u2=72+x2– 2rx cos a, équation dans laquelle x et u sont les seules variables. En la différentiant sous ce point de vue, on obtient successivement

la somme étant relative à tous les rayons rı, 12, ... In, excepté dans le dernier terme de la seconde formule, où elle doit s'étendre à toutes les combinaisons de deux rayons différens, telles que rire, ri73, r283, etc.

La discussion de ces formules se fait de différentes manières, suivant que le point ( coïncide, ou non, avec un des centres; c'est pourquoi nous allons traiter séparement ces deux cas.

Supposons d'abord que le point ( soit distinct de tous les points fixes. Si l'on donne à la droite x une direction opposée à celle qu'elle avait d'a

à bord, tous les angles a augmenteront simultanément de 180° et l'expression (A) changera de signe toutes les fois qu'elle ne sera pas nulle. Par conséquent il ne peut y avoir ni maximum, ni minimum, à moins que cette expression

Σ cos a = 0.

dr

ne soit nulle pour tout déplacement virtuel du point 0, ce qui donne pour première condition d'une valeur extrême de la fonction f

df (1) Si cette condition est remplie pour toute direction de la droite x, et que la dérivée seconde (B) ne change pas de signe, le maximum ou le minimum aura lieu, suivant que cette dérivée est négative ou positive.

Admettons en second lieu que le point mobile coïncide avec un des centres fixes. Pour l'uniformité du calcul, nous désignerons ce centre par A, et le rayon correspondant par ro, en conservant pour les autres centres et rayons les notations déjà adoptées. En d'autres termes, nous ajouterons aux conditions précédemment admises une hypothèse nouvelle, à savoir que le lieu occupé actuellement par le point mobile soit aussi un centre d'attraction. Le rayon ro, dont la valeur actuelle est nulle, se confond après un déplacement quelconque avec la droite x, en sorte que l'on aura constamment

df

dro

La dérivée totale de la fonction f (ro, r,...rn) sera donc

df

af (C)

cos di + cos (z + ..) dx

dri

dr2 diffère de zéro, cette expression ne peut plus être constamment nulle, puisque la partie qui forme la parenthèse, est susceptible d'un changement de signe. En ce cas un maximum ou minimum de la fonction f ne peut avoir lieu que si la dérivée (C) conserve toujours le même signe, ce qui exige que la la somme

df Lorsque dr.

df dri

drz

df

dro

soit en valeur absolue constamment inférieure au premier terme

dro

df
Lorsque, au contraire, la dérivée partielle s'évanouit

pour r, = 0, la première condition de maximum ou minimum se réduit encore à l'équation (1) ou à celle qui aurait lieu, si le centre A, n'existait pas. Si, par hazard, celle-ci se trouve satisfaite, on aura à examiner la dérivée seconde (B), à laquelle, en ce cas, il faudra ajouter les termes d2f d2f

daf

cos di + COS A2 + ..) dr.

- 2

m

m

et qui ne doit pas changer de signe, si le maximum ou le minimum a réellement lieu.

Pour appliquer cette théorie à quelques exemples, proposons-nous d'abord de déterminer le point de manière que la somme des miêmes puissances de ses distances à n points donnés dans l'espace soit un minimum, ou bien, ce qui revient au même, de trouver la position d'équilibre d'un point qui est attiré vers n centres fixes par des forces proportionnelles aux puissances m - 1 des distances.

Il s'agit de trouver une valeur extrême de la fonction f=r;"+r," + +r". L'équation (1), qui détermine la position du point cherché toutes les fois qu'il ne se confond pas avec un des centres, se réduit à (2) ri COS (i+ri

COS Q2 +: condition qui doit avoir lieu pour toute direction de la droite x. Cette condition étant remplie, on aura à examiner la dérivée seconde (B), qui prend la forme

déf

= m Erm-(sin’a + (m-1) cos?c) dx2

m

m-1

m-2

0,

m

m

m

m 2

Pour m1, cette dérivée est toujours positive et le minimum a réellement lieu. Pour m<1, on ne peut plus assurer d'une manière générale que la dérivée seconde ne change pas de signe. Mais jamais elle ne saurait être constamment négative; il est donc certain que la somme r;" +r," +... n'a pas de maximum en dehors des points fixes.

Il reste à considérer le cas où le point o coïncide avec un des centres A,, et d'examiner quelles sont alors les conditions du maximum ou du minimum de la somme f=r," +r," +7," +.... Le rayon r, étant nul, la série de Taylor, que nous avions employée pour le développement de 1f,

, devient illusoire toutes les fois que l'exposant m est négatif ou fractionnaire. Mais on peut détourner cet inconvénient en séparant le premier terme r", qui se réduit simplement à 2", de la somme des autres, dont l'accroissement

d2f s'obtient toujours par le théorème de Taylor. En désignant par (ax

( 1), (

dx les dérivées successives de cette dernière somme, on trouve pour toute valeur positive de m

Af m
A1 = 2*"+()x+1

:
dx

da2 et l'on aura comme précédemment

dx2),

df

m[rı"

m-1cos Qi +r2"-2 cos cg + :).

dx) Pour des valeurs de m comprises entre 0 et 1, la différence af ayant le signe de x" reste toujours positive, ce qui est le caractère essentiel du minimum. Pour m > 1 le signe de 4f dépend du terme en x et il est

df

dx disparaisse identiquement, c'est-à-dire que l'équation (2) soit satisfaite au point A.. En ce cas exceptionnel le minimum aurait également lieu, puisque 4f serait positive. Enfin, lorsque m 1, Af a le même signe que l'expression (3)

1+

susceptible de varier, à moins qu'il n'arrive par hazard que le coefficient (c)

(

d/ dx

=1

COS 1

cos d3

Celle-ci ne peut évidemment être ni nulle ni négative pour toute direction de x; mais il peut arriver qu'elle soit constamment positive, et ce serait là encore un cas de minimum.

Ainsi le minimum seul peut se rencontrer, lorsque l'exposant m est positif. Quand il est négatif, on voit immédiatement que la somme f devient infinie en chacun des points fixes et que ces valeurs particulières sont autant de maxima.

Supposons maintenant que les n centres soit contenus dans un plan et disposés de manière à former les sommets d'un polygone régulier. Examinons si la fonction r," +r," +... devient minimum, ou non, lorsque le point mobile est au centre du polygone. Cette hypothèse donne r;=r.=...=r, et Q1 = 0, 0,= 0 + B, az = 0 + 2B, ..., bn=0+(11 — 1)ß, lz

On = e étant un angle variable avec la direction de la droite x, et ß un angle constant =*. En désignant par k un nombre entier quelconque et par i l'unité

= imaginaire, on a en général

E ekai = ekoi (1 +edbi + {2}bi + ... tern-1)kßi)

m

ܕ • •

2л

n

= ekoi. 1 enkli

1- ekipi

Dans cette dernière fraction le numérateur est toujours nul, à cause de nß

2., mais le dénominateur s'évanouit seulement lorsque kp est un multiple de 2x, c'est-à-dire pour k=0, k=n, k=2n, etc. Toutes les fois que le nombre k ne sera pas un multiple de n, on aura donc nécessairement

0 = Σαλαί = Σcos λα +ιΣ sin λα,
=

= + i ka,

d'où

cos ka=0, sin ka=0. Si k est au contraire un multiple de n, kß sera un multiple de 2a, et l'on trouvera immédiatement E cos ka = n cos ko, sin ko =n sin ko.

ka

Dans le cas actuel la dérivée du premier ordre (A) disparaît, à cause de cos a=1, et celle du deuxième ordre (B) devient

pom-? [m' E cos'a — m Ecos 2c].

m2 Pour n>2, on a cos 2a = 0 et la dérivée seconde, qui se réduit à

in

m

.

m-2

est essentiellement positive. Dans tout polygone régulier le centre correspond donc réellement à un minimum de la somme r;" tr," +..., et cela quel que soit l'exposant m. Pour n=2, la somme Ecos 2a n'est plus nulle mais égale à 2 cos 20;

= de plus on a alors

E cos'a=cos'o + cos? (0 + 9) = 2 cosko et la dérivée seconde devient 2rM-? [m'cos'o — m cos 20]= mp.–(1 +

y.m

cos 20). Elle est toujours positive, si m > 1, mais variable de signe, si m < 1. Pour que le milieu entre deux centres fixes corresponde au minimum de la sommer," +r", il faụt donc que l'exposant m soit plus grand que l'unité. Pour m=1 cette somme est constante le long de la droite qui joint les deux centres, et il n'existe pas de minimum, à proprement parler, ou, si l'on veut, il en existe une infinité, à savoir dans tous les points de cette droite.

Dans les trois problèmes suivants nous allons nous occuper d'autres cas particuliers de la fonction r," +r," +...

m

m

m

m

I. Déterminer le point o de manière que la somme des distances de ce point aux sommets d'un triangle donné ABC soit minimum.

La position du point ( sera en général déterminée par la condition (2), qui se réduit actuellement à

COS ay + cos az + cos (z = 0, 01, l'a, az étant les angles que les rayons OA, OB, OC font avec la direction

liz