arbitraire a. En prenant tour à tour pour cette direction chacun des trois rayons et en appelant a, ß, y les angles que ces rayons forment entre eux, on en déduit les trois équations 1+cos ẞ+cos y = 0, 1+ cos a+ cos y 0, 1+cos a+cos ẞ=0, A Ainsi les trois B C D qui donnent cos acos ẞ= cos y, d'où a=p=y=120o. rayons doivent former entre eux des angles égaux. Cette propriété donne lieu à une construction très-simple. Prolongez la droite 40 jusqu'à ce qu'elle rencontre en D la circonférence de cercle menée par les points OBC. Dans le triangle BCD l'angle B sera égal à COD=60°; on aura de méme C60° et D= 60°, en sorte que le triangle BCD sera équilatéral. On en conclut que le point est l'intersection de trois droites dont chacune est menée d'un sommet du triangle ABC au sommet d'un triangle équilatéral construit extérieurement sur le côté opposé. A l'aide de cette même construction, déjà indiquée par Simpson, on obtient facilement la moindre valeur de la somme des distances. D'après une propriété connue des quadrilatères inscrits dans des cercles (théoréme de Ptolémée) on a OD. BC=OB. CD + OC. BD. Or, à cause de BC= CD=BD, cette équation se reduit à OD=OB+OC; on a donc ADOA+OB+ OC et l'on trouve pour le carré de cette somme l'une des trois expressions identiques dans lesquelles A, B, C sont les angles et a, b, c les côtés du triangle donné. Lorsque celui-ci a un angle égal à 120o, le point 0 coïncide évidemment avec le sommet de cet angle. Si l'un des angles est > 120o, il n'existe plus aucun point qui satisfasse à la condition (2). Mais on peut démontrer que le minimum correspond encore dans ce cas au sommet de l'angle obtus. Supposons, en effet, que le point mobile se confonde avec le sommet C, l'angle C étant > 120°, et désignons par a, ẞ les angles que les Il en résulte en particulier que si les trois centres sont en ligne droite, le point du minimum coïncide avec le moyen d'entre eux. II. Déterminer un point 0 de manière que la somme des distances de ce point aux quatre sommets d'un tétraèdre donné ABCD soit minimum. Désignons respectivement par «, ß, y, a', p', y' les angles BOC, COA, AOB, DOA, DOB, DOC, que les rayons menés du point aux sommets du tétraèdre forment entre eux. Si l'on fait coïncider successivement la droite x avec chacun de ces rayons, la condition générale (1) donne les quatre équations 1+cos acos ẞ+cos y En comparant la différence de deux équations à celle des deux autres, combinées de différentes manières, on en déduit cos a = cos a', cos ẞ = cos p′, ce qui signifie que l'angle compris entre deux rayons quelconques doit être égal à celui compris entre les deux autres. On peut considérer le point comme le sommet de quatre pyramides triangulaires contruites sur les faces du tétraèdre, auxquelles appartiennent quatre angles solides placés autour du point 0. Si l'on compare entre eux deux quelconques de ces angles solides, on verra que les angles plans dont ils se composent, sont égaux deux à deux dans le même ordre, et l'on en conclura que les angles solides sont eux-mêmes égaux dans toutes leurs parties de manière à pouvoir se couvrir l'un l'autre. Ainsi le point / doit avoir une position telle que les quatre angles trièdres formés par les rayons qui le joignent aux sommets du tétraèdre soient tous égaux, chacun d'eux mesurant le quart de l'espace entier. Lorsque tous les angles solides du tétraèdre sont plus petits que le quart de l'espace, il existe toujours dans l'intérieur du tétraèdre un point qui satisfait à la condition précédente. Ce point coïncide avec un des sommets, lorsque l'angle correspondant mesure exactement le quart de l'espace. Mais si le tétraèdre a un angle solide encore plus grand, il n'existe plus aucun point qui remplisse une telle condition. Cependant le minimum correspond encore au sommet de cet angle, ce qu'on peut démontrer de la manière sui vante. Soit D le sommet de l'angle solide dont il s'agit et qui fait partie du tétraèdre donné ABCD; cet angle découpera sur la surface d'une sphère, décrite autour du point D comme centre, un triangle dont l'excés sphérique E sera supérieur à 180o. Or, en appelant a, b, c les côtés ce triangle, on a généralement (voir la trignométrie de Serret, p. 120) Dans notre hypothèse, le premier membre de cette formule est négatif; donc il en est de même de la somme 1+ cos a + cos b + cos c. On peut présenter ce résultat sous une forme différente. Si l'on prend sur chacune des arêtes DA, DB, DC, à partir du point D, une longueur égale à l'unité, et que l'on construise un parallélipipède sur les trois droites ainsi déterminées, la diagonale d de ce parallélipipède s'obtiendra par la formule ď2 = 1+2 (1+cos a + cos b + cos c). La somme 1+ cos a + cos b + cos c étant négative, on aura d2 <1 et par suite la diagonale d sera elle-même plus petite que l'unité. Cela posé, nous considérons un déplacement du point mobile 0 à partir du sommet D suivant une droite x faisant respectivement les angles a, ẞ, y avec les arêtes DA, DB, DC. A ce déplacement correspond une dérivée de la fonction fr+r1+r2+r, qui s'obtient par la formule (3) et dont la valeur est 1 COS α cos ẞcos 7. Or, la somme cos a + cos ẞ+cos y exprime évidemment la projection de la diagonale d sur la droite x, laquelle s'obtient en projetant les trois arêtes du parallelipipède. Cette projection étant, ainsi que la diagonale elle-même, plus petite que l'unité, il s'ensuit que l'expression précédente reste toujours positive, ce qui prouve l'existence du minimum. Considérons enfin le cas où les quatre point donnés A, B, C, D se trouvent dans un plan. S'ils forment un quadritère convexe, le point pour lequel la somme des distances est minimum, sera l'intersection des deux diagonales du quadrilatère. Mais si les points donnés ont une position telle que l'un d'eux D se trouve dans l'intérieur du triangle ABC formé par les trois autres, le minimum aura lieu au point D. Tout cela se deduit simplement de ce que nous venons de démontrer en général pour le tétraèdre. III. La somme des carrés des distances d'un point 0 à n centres fixes doit être minimum. L'équation générale de condition (1) devient Σr cos a=0. Elle exprime que la somme des projections des distances sur une droite quelconque est nulle, d'où il résulte évidemment que le point cherché est le centre de gravité d'un systéme de masses égales placées aux centres fixes. Pour calculer la valeur minima de la somme r2 + r22 + ··· + r„2, nous prenons d'abord le rayon r, pour axe de projection et nous trouvons r1+r2 cos 12 + 73 COS 13 + 2 ... 2 en désignant généralement par cos le cosinus de l'angle compris entre les rayons r et r En adoptant de même la notation c pour désigner le carré de la distance entre les point A, A, on a les équations Quand on les ajoute, les termes négatifs se détruisent et il vient et ainsi de suite. En ajoutant toutes les équations ainsi formées et désignant par Zc la somme des carrés des distances mutuelles de tous le centres A1, A2, An, on obtient définitivement ... 22c= n2r22+nΣr2 = 2nΣr2, d'où Σε Σ = c'est-à-dire que la moindre valeur de la somme des carrés des rayons menés d'un point à n centres fixes est n fois plus petite que la somme des carrés des distances mutuelles des centres. IV. Comme dernière application nous nous proposons de déterminer les valeurs extrêmes du produit r1 72 73 Au lieu de nous servir des formules précédentes, où il n'est tenu compte que des dérivées du premier et du second ordre, nous préférons de chercher directement le développement complet de la fonction dont il s'agit. A cet effet nous rappelons d'abord la formule (0) Si l'on prend des deux côtés le logarithme népérien et qu'on développe ensuite le second membre, il vient La ettrer pouvant représenter successivement chacun des rayors 71, 72, on tire de cette formule unique n équations différentes, dont la somme est Lorsque est trés-petit, le signe du second membre dépend du premier terme qui ne soit pas nul. Or, quel que soit ce terme, son signe est néces |