Ce raisonnement a l'inconvénient d'étre fondé sur une proposition plus compliquée que celle qu'il s'agit de démontrer, puisqu'il suppose qu'on sache différentier des intégrales renfermant plusieurs variables ').

La démonstration donnée par Euler 2) peut se résumer de la manière suivante, à cela près qu'il emploie d'autres notations. Soit z une fonction de x et y; si l'on substitue x+dx à x, elle deviendra

Substituant dans cette nouvelle expression y+dy à y, on lui fera prendre la valeur

En faisant les mêmes substitutions dans l'ordre inverse, on trouverait

Ces résultats étant nécessairement identiques, puisque l'ordre des substitutions est indifférent, on doit avoir

d’z doz ddy

dydx

A peine est-il nécessaire de faire remarquer qu'une pareille démonstration, dans laquelle on confond des différentielles avec des différences finies, trop souvent employée par les premiers cultivateurs de l'analyse infinitésimale, ne saurait être admise aujourd'hui. Cependant l'idée des substitutions successives, qui lui sert de fondement, a été conservée par les auteurs modernes et mise en pratique de différentes manières.

Quelques-uns, en suivant l'exemple de Lagrange 3) et de Lacroix +), commencent par développer f (x +h, y+k) par le théorème de Taylor en série ordonnée suivant les puissances et produits de h et k. Ce développe

1) Dans le mémoire de Clairaut la règle de différentier sous le signe S est attribuée à Nicolas Bernoulli.

ment peut se faire de deux manières différentes suivant l'ordre dans lequel on donne à x et y leurs accroissements respectift h et k. En rapprochant l'une de l'autre les deux séries ainsi obtenues et qui doivent étre identiques, on est conduit au théorème qui nous occupe.

A cela on pourrait objecter 1:0 qu'il n'est pas naturel d'employer des séries pours démontrer un principe aussi élémentaire, et 2:0 qu'une pareille démonstration n'est pas générale, puisqu'elle ne comprend point le cas où le développement de Taylor est en défaut.

La forme de démonstration employée par Cauchy et par Moigno 1) revient au fond à celle qui précède; mais elle est plus rigoureuse, parce qu'on y tient compte du reste de la série de Taylor.

Nous arrivons maintenant à l'objet principal de nos remarques, la démonstration donnée par M. Schloemilch dans un ouvrage récemment publié 2). Partant de l'équation connue

et observant que la dérivée dans le second membre est prise en regardant y comme constant, l'auteur en infère que o est aussi indépendant de y.

Or cette conclusion, sur laquelle toute la démonstration est essentiellement fondée, n'est pas légitime. Pour le montrer bien clairement, considérons une courbe plane représentée par l'équation y=f(x) et supposons que cette équation renferme un paramètre indéterminé a.

Nous aurons

et x + oh sera l'abscisse du point de la courbe où la tangente est parallèle à la corde menée entre les points qui correspondent aux abscisses x et x+h. Si l'on fait varier le paramètre a, tandisque les abscisses x et x+h conservent des valeurs fixes, on aura une infinité de courbes menées entre deux ordonnées invariables. A chacune de ces courbes on pourra mener une tangente parallèle à la corde qui lui appartient, et l'on aura ainsi une infinité de points de contact, qui ne sont pas généralement situés sur une même ordonnée, mais correspondent à différentes abscisses x+oh et par conséquent à différentes valeurs de 0. Supposons, par exemple, que la courbe soit un cercle représenté par l'équation x +y = a' et que les abscisses invariables des deux extrémités de l'arc soient x = 0 et x=h. En appelant v l'angle que cet arc soutend au centre du cercle et oh l'abscisse du point où la tangente est parallelle à la corde, on trouve sans peine

Lorsque le rayon du cercle augmente, l'abscisse h restant invariable, l'angle v diminue et par conséquent e diminue aussi. Donc o est en général une fonction de a.

Supposer que o soit indépendant de a, c'est imposer une certaine restriction à la fonction f(x). On peut même assigner la forme qu'elle doit avoir pour qu'une telle supposition soit vraie. En développant les deux membres de l'équation (2) et supprimant le terme cummun f'(x), on trouve

!1" () + ' 7" (2) +...=0" (x) +
/2 f'x)

["''(x) +...

02h

h 2.3

2

De là on pourrait tirer le développement de o suivant les puissances de h.
Mais il suffit d'observer que la valeur de o ainsi obtenue ne saurait être in-
dépendant du paramètre a, qui entre dans les dérivées f"(x), ["(x), .., que
si les rapports de ces dérivées le sont également. Ainsi il faut en particu-
lier que le quotient

f''(x)
f'(x)

=

ne soit pas fonction de a, et l'on en déduit, en intégrant par rapport à x, que la dérivée seconde doit avoir la forme

f"(x) = Co"(x), q" étant une fonction de x seul et C une constante arbitraire, qui peut varier avec le paramètre a. Réciproquement, cette forme satisfait à toutes les conditions exigées, puisque les dérivées successives f"(x), f''(x), devenues C9"(.x), Cr"(x), ..

... ne contiendront le paramètre a qu'autant qu'il entrera dans le facteur commun C.

En intégrant deux fois de suite l'équation qui précède, on arrive à un résultat de la forme

f(x) = A + Bx + C9(x),

où g(x) est une fonction de la seule variable x et A, B, C des constantes qui peuvent varier avec le paramètre a.

Telle est la forme la plus générale de la fonction f(x) qui puisse convenir à l'hypothèse que o soit indépendant de a dans l'équation (2). En considérant la question sous un point de vue géométrique et posant

y = 9(x),

Y = A + Bx + Cy, on peut regarder y et Y comme les ordonnées de deux courbes, entre lesquelles il existe une certaine relation. Si de tous les points de la première courbe on mène des droites parallèles à une direction quelconque jusqu'à la rencontre d'une droite arbitraire A+ Bx + Cy=0

) et qu'on les substitue aux ordonnées y, on aura les ordonnées correspondantes Y de la seconde courbe. Les courbes ainsi transformées sont les seules qui jouissent de la propriété que les tangentes parallèles aux cordes comprises entre deux ordonnées invariables ont leurs points de contact situés sur la même ordonnée.

Ce que nous venons de prouver à l'égard de l'équation (2), s'applique immédiatement à l'équation (1) et montre que dans celle-ci la valeur de o dépend nécessairement de celle de y, à moins que la fonction f(x,y) ne soit composée de la manière suivante

f(x, y) = Y + 11x + 12 9(x). Ainsi l'hypothèse admise par M. Schloemilch exclut d'abord toute fonction qui n'est pas comprise dans cette forme. Elle est encore plus restreinte par une supposition analogue relative à la seconde variable, ensorte que le théorème, qu'il fallait établir en général, ne reste démontré que pour des fonctions de cette forme très-particulière

f(x,y) = A + Bxy + (2). (y),

où A et B sont des constantes.

Dans le grand et bel ouvrage qu'il vient de publier, ') M. Bertrand emploie une démonstration fondée sur le théorème suivant:

d.c

Si une fonction b(x,a) est infiniment petite, quel que soit x, pour (

dy une valeur infiniment petite de a, il en est de même de sa dérivée

Cette proposition, bien qu'elle soit vraie en général, souffre pourtant des exceptions. Considérons, par exemple, une cycloïde engendrée par un cercle dont le rayon est a, roulant sur l'axe des X. Si le rayon a tend vers zéro, l'ordonnée y devient infiniment petite pour toute valeur de x, et pourtant sa dérivée, qui dépend de l'inclinaison de la tangente, peut avoir toutes les valeurs depuis - jusqu'à +. La limite vers laquelle tend la dérivée pour a=0, n'est donc pas nulle, mais absolument indéterminée. La même chose a lieu pour la sinusoïde représentée par l'équation

a'

y = a sing dy la dérivée

– 1 et +1. dx

pouvant avoir pour a=0 une valeur quelconque entre Il y a un autre principe intimement lié à la nature de la question et dont M. Bertrand, sans le dire expressement, fait usage aussi bien que tous les autres. C'est que la limite vers laquelle converge une fonction de deux variables, lorsque celles-ci s'évanouissent ou s'approchent de certaines valeurs déterminées, est indépendante de la liaison établie entre les variables. Ceci est en effet le caractère essentiel d'une fonction monodrome et conti

Mais en admettant ce principe, toute autre hypothèse devient superflue et notre théorème en résulte presque immédiament.

Soit, en effet, z=f(x,y) l'équation d'une surface continue aux environs d'un point P, que l'on considère en particulier et dont les coordonnées sont X, Y, Z; donnons à x et y des accroissements h, k et considérons l'expression

f(x+h, y+k) – f(x+h, y) – f(x,y + k) + f(x,y),

nue.

hk

dans laquelle nous regardons h et k comme variables. Celle-ci est évidemment continue pour de petites valeurs de h et k différentes de zéro et il est facile de voir que la continuité ne sera pas interrompue, lorsque l'une ou l'autre de ces variables passe par zéro, pourvu que les dérivées partielles

soient aussi continues aux environs du point P. Dans cette hypothèse l'expression précédente sera donc monodrome et continue tout autour du point P, de sorte qu'en faisant h et k décroître jusqu'à zéro, elle tendra vers une limite qui sera indépendante de la liaison supposée entre ces variables. Or si l'on fait

dz dz doc' dy