: preuve de l'extrême influence de l'opinion générale, sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis XIV, Racine et Pascal, en sont des exemples frappans. Il est affligeant de voir avec quelle complaisance, Racine, ce peintre admirable du cœur humain, et le poëte le plus parfait qui fut jamais, rapporte comme miraculeuse, la guérison de la jeune Perrier, nièce de Pascal, et pensionnaire à l'abbaye de Port-Royal: il est pénible de lire les raisonnemens par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion, pour justifier la doctrine des religieuses de cette abbaye, alors persécutées par les Jésuites. La jeune Perrier était depuis trois ans et demi, affligée d'une fistule lacrymale elle toucha de son œil malade, une relique que l'on prétendait être une des épines de la couronne du Sauveur, et elle se crut à l'instant, guérie. Quelques jours après, les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison, et ils jugèrent que la nature et les remèdes n'y avaient eu aucune part. Cet événement arrivé en 1656, ayant fait un grand bruit, «tout Paris se porta, dit >> Racine, à Port-Royal. La foule croissait de jour en jour, et Dieu » même semblait prendre plaisir à autoriser la dévotion des peuples, » par la quantité de miracles qui se firent en cette église. » A cette époque, les miracles et les sortiléges ne paraissaient pas encore invraisemblables, et l'on n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature, que l'on ne pouvait autrement expliquer. Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal, que Craige, mathématicien anglais, a reproduit sous une forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité elle-même, qu'en se conformant à telle chose, on jouira, non pas d'une, ou de deux, mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite, il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite, est infini; puisqu'il est le produit de cette probabilité, par un bien infini; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage. Cet argument est fondé sur le nombre infini de vies heureuses promises au nom de la Divinité, par les témoins; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent, précisément parce qu'ils exagèrent leurs promesses au-delà de toutes limites; conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous fait-il voir que cette exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage, au point de la rendre infiniment petite, ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé, d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à la probabilité que si le témoin trompe, il choisira le plus grand numéro; le calcul donne la probabilité de son annonce, égale à une fraction dont le numérateur est le double de la probabilité de son témoignage, considérée à priori ou indépendamment de l'annonce, et dont le dénominateur est le produit du nombre des numéros de l'urne, par l'unité diminuée de cette dernière probabilité. Pour assimiler ce cas, à celui de l'argument de Pascal; il suffit de représenter par les numéros de l'urne, tous les nombres possibles de vies heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros, infini; et d'observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt pour accréditer leur mensonge, à promettre une éternité de bonheur. L'expression précédente de la probabilité de leur témoignage, devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies heureuses promises, l'infini disparaît du produit qui exprime l'avantage résultant de cette promesse; ce qui détruit l'argument de Pascal. La probabilité d'un événement futur est la somme des produits VIIe Principe. de la probabilité de chaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que cette cause existant, l'événement futur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe. Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules, que l'on remet ensuite dans l'urne, pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches; on demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage. On ne peut faire ici que ces deux hypothèses; ou l'une des boules est blanche, et l'autre, noire; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est; elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, en regardant ces hypothèses, comme autant de causes; on aura par le sixième principe, et pour leurs probabilités respectives. Or si la première hypothèse a lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est ; elle égale l'unité, dans la seconde hypothèse en multipliant ces dernières probabilités, par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits, ou sera la probabilité d'extraire une boule blanche, au troisième tirage. Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à P'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'événement observé, est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de l'événement est comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant, si l'on multiplie chaque fraction, par la probabilité de l'événement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante; la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe, la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite, un nombre quelconque de fois; la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante, est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire, à cinq mille ans, on a 1826215 jours, et le soleil s'étant levé constamment dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures; il y a 1826214 à parier contre un, qu'il se levera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui connaissant par l'ensemble des phénomènes, le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel, ne peut en arrêter le cours. Buffon, dans son Arithmétique politique, calcule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diffère de l'unité, que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événemens passés, à la probabilité des causes et des événemens futurs, était inconnue à cet illustre écrivain. De l'Espérance. La probabilité des événemens sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions: il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque, dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée, par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir, lorsqu'on ne veut point courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères; parce qu'avec un égal degré de probabilité, on a un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage, espérance mathématique. Lorsqu'il dépend de plusieurs événemens; on l'obtient, en pre- VIIIe Principe. nant la somme des produits de la probabilité de chaque événement, par le bien attaché à son arrivée. Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix et pile, Paul reçoive deux francs, s'il amène croix au premier coup, et cinq francs, s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs, par la probabilité du premier cas, et cinq francs, par la probabilité du second cas; la somme des produits, ou deux francs et un quart sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui fait cet avantage; car pour l'égalité du jeu, la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure. Si Paul reçoit deux francs, en amenant croix au premier coup, IXe Principe. et cinq francs en l'amenant au second coup, soit qu'il l'ait ou non,' amené au premier; il faut alors distinguer quatre cas, savoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile aux deux coups. Paul reçoit sept francs dans le premier cas, deux francs dans le second, cinq francs dans le troisième, et rien dans le quatrième. La probabilité de chacun de ces cas est; en multipliant donc par, la somme correspondante à chaque cas, et ajoutant ces produits, on aura trois francs et demi pour l'avantage de Paul, et par conséquent pour sa mise au jeu. Dans une série d'événemens probables, dont les uns produisent un bien, et les autres, une perte; on aura l'avantage qui en résulte, en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable, par le bien qu'il procure; et en retranchant de cette somme, celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable, par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte, et l'espérance se change en crainte. On doit toujours, dans la conduite de la vie, faire ensorte d'égaler au moins, le produit du bien que l'on espère, par sa probabilité, au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir, d'apprécier exactement, les avantages, les pertes, et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela, une grande justesse d'esprit, un tact délicat, et une grande expérience des choses: il faut savoir se garantir, des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance, et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre. L'application des principes précédens, à la question suivante, a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue à croix et pile, avec la condition de recevoir, deux francs, s'il amène croix au premier coup; quatre francs, s'il ne l'amène qu'au second; huit francs, s'il ne l'amène qu'au troisième, et ainsi de suite. Sa mise au jeu, doit être par le huitième principe, égale au nombre des coups; ensorte que si la partie continue à l'infini, la mise doit être infinie. Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu, une somme même modique, cinquante francs, par exemple. |
