schwachen Vergleichsterne, die für Juli 10-21 zu Grunde liegen, bei dem tiefen Stande weniger gut als sonst gelungen sind, worüber eine neue Bestimmung derselben Auskunft geben wird. Das allgemeine Resultat der hier vorgelegten Rechnungen, dass die Beobachtungen der Themis eine Vergrösserung der Besselschen Jupitersmasse um ihres Betrages verlangen, kann durch die Unsicherheit des achten Ortes nur unwesentlich beeinflusst werden. 68 100000 Die Auflösung der Breitengleichungen giebt endlich noch: doda=+2′ 16"465"904 di +1007+0,095 = Bis auf Weiteres denke ich die hier gefundenen Verbesserungen der Elemente für die Vorausberechnungen nicht zu benutzen, da die Elemente (P) dieselben der Hauptsache nach schon enthalten, und für eine geraume Zeit genügen werden, um den Ort des Planeten innerhalb einer Zeitsekunde wiederzugeben. Ueberdiess wird die zu erwartende Verbesserung des achten Normalortes noch eine Modification der Endresultate herbeiführen. Berichtigungen. Pag. 155 Zeile 5 v. o. 1: dadurch nur in geringem Grade afficirt werden kann. Pag. 161 Zeile 7 v. o. die Vorzeichen von 8L sind zu ändern. SUR LES MAXIMA ET MINIMA D'UNE FONCTION DES RAYONS VECTEURS MENÉS D'UN POINT MOBILE A PLUSIEURS CENTRES FIXES. PAR L. LINDELÖF. (Lu le 22 Janvier 1866.) Soient 71, 72, ... r les rayons vecteurs menés d'un point 0 à d'autres points ou centres fixes A1, A2,... An, situés, comme on veut, dans l'espace; on peut se demander, quelle doit être la position du point 0, pour qu'une fonction de ces rayons prenne une valeur extrême, cést-à-dire qu'elle devienne maximum ou mini mum. Il convient de faire observer avant tout que la question ainsi posée n'est autre chose qu'un problème de mécanique traduit en termes de géométrie. Concevons, en effet, que le point 0 soit attiré vers les centres A1, A2,... An par des forces représentées par les dérivées partielles si le point vient à se déplacer suivant une direction quelconque, l'élément du travail exécuté par l'ensemble de ces forces sera ou égal à l'accroissement correspondant de la fonction f, pris en signe contraire. Lorsque cette fonction est minimum, la différence of est positive pour tout déplacement très-petit du point 0; lorsqu'elle est maximum, 4f est au contraire négative. Dans le premier cas le travail des forces est donc toujours négatif, et le point mobile ne peut se déplacer sans qu'il y ait une résistance à vaincre; dans le second cas le travail est toujours positif, en sorte que le point a une tendance à se mouvoir dans une direction aussi bien que dans une autre, et que, une fois déplacé, il ne peut revenir à sa première position sans éprouver une certaine résistance. Il en résulte que les forces qui agissent sur le point mobile et qui sont représentées par les dérivées partielles de la fonction f, se font équilibre, lorsque le point a une position telle que cette fonction f est maximum ou minimum. L'équilibre est stable dans le cas du minimum; dans celui du maximum il est instable. Pour revenir à notre problème, imaginons-nous que le point mobile se déplace à partir de 0 suivant une direction arbitraire d'une quantité finie mais très-petite x; la fonction f prendra un accroissement 4f, qu'on peut exprimer par la série df d2f dx2 x2+ Pour plus de simplicité, il sera convenu de regarder la distance x comme positive et de définir sa direction par les angles a1, a2, 1⁄2, ...a qu'elle fait respectivement avec les rayons r1, 2,... r, menés du point 0 aux centres fixes. Pour que la fonction f prenne au point une valeur extrême, il faut et il suffit que la différence 4f ne change pas de signe quand on fait tourner la droite x tout autour du point 0. Ce principe général renferme en particulier les conditions suivantes: df dx' 1:0 La dérivée première tant qu'elle n'est pas nulle, doit conserver le même signe tout autour du point 0. 2:0 Si la dérivée du premier ordre est constamment nulle, la dérivée seconde ne doit pas changer de signe. 3:0 Si la dérivée première s'évanouit seulement pour certaines directions du déplacement x, sans changer de signe, il faut que la dérivée seconde prenne pour ces mêmes directions le signe dont la dérivée première est af fectée en général. 4:0 Il peut arriver que les deux dérivées disparaissent en même temps. En ce cas l'existence d'un maximum ou minimum dépend du signe de la dérivée du troisième ordre, et ainsi de suite. Toute cette analyse suppose du reste que les dérivées dont il s'agit, ne deviennent pas infinies au point 0. Les deux dérivées qui entrent principalement dans cette discussion, peuvent s'exprimer de la manière suivante d2f dx2 df dri + df dr2 + dr2 dx ... |