avec avantage dans d'autres questions d'analyse, et qui en permettant d'étendre indéfiniment dans tout le cours d'un long calcul, des fonctions qui doivent être limitées par la nature du problème, indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. Mais ces mé→ thodes supposent connue, la loi des erreurs des observations; ce qui n'est pas. Heureusement, j'ai trouvé que si les observations sont en grand nombre, la recherche des milieux que l'on doit choisir, devient indépendante de cette loi. On a vu précédemment, que chaque observation fournit une équation de condition, du premier degré, qui peut toujours être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre, le second étant zéro. L'usage de ces équations est une des causes principales de la grande précision de nos tables astronomiques; parce que l'on a pu ainsi faire concourir un nombre immense d'excellentes observations, à la fixation de leurs élémens. Lorsqu'il n'y a qu'un seul élément à déterminer, Côtes avait prescrit de préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de l'élément inconnu fût positif dans chacune d'elles, et d'ajouter ensuite toutes ces équations, pour former une équation finale d'où l'on tire la

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valeur de cet élément. La règle de Côtes fut suivie par tous les calculateurs. Mais quand il fallait déterminer plusieurs élémens; on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition, de manière à obtenir les équations finales nécessaires: seulement, on choisissait pour chaque élément, les observations les plus propres à le déterminer. Ce fut pour obvier à ces tâtonnemens, que Legendre et Gauss imaginèrent d'ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition, et d'en rendre la somme un minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu par ce moyen, on obtient directement autant d'équations finales, qu'il y a d'élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations, méritent-elles la préférence sur toutes celles que l'on peut obtenir par d'autres moyens? C'est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important, et je parvins par une analyse délicate, à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit à l'avantage de donner par un procédé régulier, les élémens cherchés, celui de les faire sortir avec le plus d'évidence, de l'ensemble des observations, et d'en déterminer les valeurs. qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

On n'a cependant encore, qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus, tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles, n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poids d'un résultat. L'analyse dont je viens de parler, conduit à des formules générales et simples pour cet objet.

Ces formules sont d'une grande utilité dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul: souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières; mais elle reste toujours, empreinte dans les événemens produits par toutes ces causes, et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'analyse des probabilités développe ces modifications: elle assigne leurs degrés de vraisemblance, et elle indique jusqu'à quel point il faut multiplier les observations, pour qu'il ne reste à leur égard aucun doute raisonnable. Ainsi au milieu des causes. irrégulières qui agitent l'atmosphère, les changemens périodiques de la chaleur solaire, du jour à la nuit, et de l'hiver à l'été, produisent

dans la pression de cette grande masse fluide, et dans la hauteur correspondante du baromètre, des oscillations diurnes et annuelles,que de nombreuses observations barométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. C'est encore ainsi que la série des événemens historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale, au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens, les sociétés. Il est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des jeux, se soit élevée aux plus importans objets des connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma Théorie analytique des Probabilités, où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale, les principes et l'analyse du calcul des probabilités, ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressans et les plus difficiles que ce calcul présente.

On voit par cet Essai, que la théorie des probabilités n'est au fond, que le bon sens réduit au calcul: elle fait apprécier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette

théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de bases, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissemens d'utilité publique, qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore, par son application aux questions les plus importantes de la philosophie naturelle et des sciences morales; si l'on observe ensuite, que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugemens, et qu'elle nous apprend à nous garantir des illusions quisouvent nous égarent; on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos `méditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.