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combinaisons des n lettres prises r à r, et dans lesquelles les s numéros donnés entrent. Si l'on divise ce nombre, par celui des combinaisons de toutes les lettres prises rà r; on aura la probabilité demandée. On trouve ainsi que cette probabilité est le rapport du nombre des combinaisons de r lettres prises sàs, au nombre des combinaisons de nlettres prises sàs.

On peut d'après ce théorème, calculer les chances de la loterie de France, et en conclure ses bénéfices. Cette loterie est, comme on sait, composée de go numéros, dont cinq sortent à chaque tirage. La probabilité de la sortie d'un extrait donné, est en vertu de ce théorème, égale à ou is; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu, rendre dixhuit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux, de go numéros est 4005, et il en sort dix à chaque tirage; ainsi la probabilité de la sortie d'un ambe donné est hos; la loterie devrait donc pour un ambe sorti, rendre quatre cent fois et demie, la mise. On trouve pareillement qu'elle devrait rendre la mise, 11748 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire ces avantages aux joueurs,

Supposons encore dans une urne, n boules

que l'on puisse également extraire une à une, deux à deux, trois à trois, etc.; on a fait une de ces extractions, et l'on demande la probabilité que le nombre des boules extraites est impair. Il suit de ce qui précède, que si l'on élève le binome, un plus un, à la puissance A; les termes second, troisième, etc., exprimeront les nombres de combinaisons des ma boules prises une à une, deux à deux, etc.; ainsi la totalité des combinaisons sera la puissance pième de deux, moins l'unité : la somme des termes second, quatrième, sixième, etc, du développement du binome,sera le nombre des combinaisons impaires : elle sera visiblement, la moitié de la différence des pièmes puissances des binomes un plus'un, et un moins un; ou la moitié de la pième puissance de deux. En retranchant l'unité, de cette moitié, on aura le nombre des combinaisons paires; et en divisant ces deux nombres de combinaisons, par leur somme, on aura les probabilités respectives des combinaisons impaires et paires. On voit ainsi qu'il y a de l'avantage à parier plutôt pour un nombre impair de boules extraites, que pour un nombre pair.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe de résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d’équations aux différences. En comparant les états

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consécutifs de la fonction des variables, qui exprimé la probabilité, lorsqu'on fait croître ces variables, de leurs différences respectives; la question proposée fournit le plus souvent, ún rápport très-simple entre les divers états de cette fonction. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux différences ordinaires ou partielles ; ordinaires , lorsqu'il n'y a qu'une variable; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons en quelques exemples. : ; · Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire, joue avec le troisième, et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres; ce qui termine la partie. On demande la probabilité que cette partie sera finie dans un nombre donné de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément à un coup déterminé, par exemple, au dixième coup. Pour cela, le joueur qui la gagne, doit entrer au jeu au neuvième coup, et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si au lieu de gagner le neuvième coup, il était vaincu par son adversaire, comme celui-ci a déjà gagné Pautre joueur, la partie finirait à ce coup; ainsi la probabilité qu'un joueur entrerą au jeu au neuvième coup, et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à cecoup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au dixième coup, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Il suit de la que si l'on considère cette probabilité, comme une fonction du numéro du coup auquel elle doit finir; cette fonction sera la moitié de la même fonction dans laquelle on a diminué le numéro ou la variable, d'une unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équa, tions aux différences finies ordinaireş.

Onpeut déterminer facilement à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plutôt, qu'au second coup; et pour cela, il est nécessaire que celui, des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire, gagne au second coup, le troisième joueur. Ainsi la probabilité que la partie finira, à ce coup, est . De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie, sont pour le troisième coup, ở pour le quatrième, etc., et généralement élevé à une puissance moindre de l'unité, que le numéro du coup. Maintenant, si l'on prend la somme de toutes ces puissances, depuis la première jusqu'à cette dernière inclusivement; on aura la probabilité que la partie sera terminée dans le nombre de coups indiqué par ce numéro, égale à l'unité moins la dernière de ces puissances de · Considérons encore le premier problème que l'on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermat. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble à cette condition que celui qui le premier, aura vaincu l'autre un nombre donné de fois, gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu. Après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; on demande de quelle manière ils doivent se partager cette somme. Il est visible que leurs parts doivent être proportionnelles à leurs probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur, pour atteindre lenombre donné; ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous regarderons comme autant de variables. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change en rien leur sort); ou A le gagnerait, et alors le

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