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déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

On n'a cependant encore qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus , tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles, n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données ; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poids d'un résultat. L'Analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué celte Analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste à déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs d'un très-grand nombre d'observations, sont renfermées dans des limites quelconques.

La loi de possibilité des erreurs des observations, introduit, dans les expressions de ces probabilités , une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toujours inconnue. Heureusement, cette constante peut être déterminée par les observations mêmes. Dans la recherche des élémens astronomiques, elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme, on peut, par la comparaison de ces carrés, apprécier l'exactitude relative des diverses tables d'un même astre. Dans les opérations géodésiques , ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de chaque triangle. La comparaison des carrés de ces erreurs, fera donc juger de la précision relative des instrumens avec lesquels on a mesuré les angles. On voit, par cette comparaison, l'avantage du cercle répétiteur , sur les instrumens qu'il a remplacés dans la Géodésie.

Il existe souvent, dans les observations, plusieurs sources d'erreurs : ainsi les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette méridienne et du cercle, tous deux susceptibles d'erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la même, les élémens que l'on déduit de ces positions sont affectés de ces erreurs. Les équations de condition que l'on forme pour avoir ces élémens, contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficiens différens. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations, pour obtenir par la réunion des produits, autant d'équations finales qu'il y a d'élémens à déterminer , n'est plus alors celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage, conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels une même erreur est moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues , qu'il y a de sources d'erreur, et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On a vu, que dans le cas d'une source unique, on peut déterminer cette constante , en formant la somme des carrés des résidus de chaque équation de condition , lorsqu'on y a substitué les valeurs trouvées pour les élémens. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes , quel que soit leur nombre ; ce qui complète l'application du calcul des probabilités aux résultats des observations.

Je dois ici faire une remarque importante. La petite incer. titude que les observations, quand elles ne sont pas très-multipliées, laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler , rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l'analyse, Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d'étroites limites, approche extrêmement de l'unité; et quand cela n'est pas, il suffit de savoir jusqu'à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle, qu'il ne reste, sur la bonté des résultats, aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet , et sous ce rapport, elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sur un ensemble d'observations susceptibles d'erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les évé. nemens produits par toutes ces causes , et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déter. miner. L'Analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes , et elle indique les moyens d'accroître de plus en plus cette probabilité. Ainsi aur milieu des causes irrégulières qui agitent l'atmosphère , les changemens périodiques de la chaleur solaire , du jour à la nuit, et de l'hiver à l'été, produisent dans la pression de cette grande masse fluide, et dans la hauteur correspondante du baromètre, des oscillations diurnes et annuelles que de nonr breuses observations barométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. C'est encore ainsi que la série des événemens historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale, au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens les sociétés. Il est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des jeux, se soit élevée aux plus importans objets des connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma Théorie analy. tique des Probabilités , où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale, les principes et l'Analyse du Calcul des Probabilités, ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressans et les plus difficiles que ce calcul présente.

On verra par cet Essai, que la théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle

ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre , toutes les fois que l'on peut, à son moyen , déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux , à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissemens d'utilité publique qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore, par son application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite , que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugemens, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent , on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations , et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.

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Cet Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités, que je donnai en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange, par un décret de la Convention nationale. J'ai publié depuis, sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici, sans le secours de l'Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude , dans les sciences mathématiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité, l'induction et l'analogie se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines, se rattache à la théorie exposée dans cet essai. On y verra sans doute avec intérêt, qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison , de la justice et de l'humanité, que les chances heureuses qui leur sont constam

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