Or on peut conclure de la première de ces inégalités que, en tout point de la droite EF qui est intérieur au domaine U limité par la ligne ABC et le segment rectiligne AC, l'expression (u)—z, reste inférieure à une certaine expression qui tend vers zéro avec & et qui ne dépend pas de n. 2 3 1 Portons en effet, sur la plus grande ordonnée HB de la ligne ABC par rapport à l'axe KL, un segment HB' égal à HB, et menons par les points B et B' des parallèles MN et M'N' à l'axe réel (voir la seconde figure ci-dessus). Puis choisissons dans le domaine U un point quelconque P situé sur la droite M'N' ou au-dessus d'elle, et, de ce point comme centre, traçons un cercle tangent à la droite KL. Soit 2 la portion commune de ce cercle et du domaine U qui renferme le point P, et désignons enfin par M, et N, les points où le cercle en question coupe la droite M N. La fonction (u)-2, est régulière dans 2, et son module est inférieur à K en tout point de ce domaine et inférieur à & sur les arcs de son contour qui font partie de la ligne ABC. Puisque, d'après notre construction, l'arc M, N, du cercle considéré, qui est extérieur au domaine 2, comprend au moins un tiers de sa circonférence, nous pouvons en conclure, d'après le no 3, qu'on a au point P (12) 2 1 Cette inégalité subsiste donc en tout point du domaine U situé sur M'N' ou au-dessus de cette droite. 2 I Désignons par U' la portion du domaine U située au-dessous de la droite M'N'. En admettant que ɛ< K, d'où l'on tire K3 3 >ɛ, l'inégalité (12) sera vérifiée sur le contour de U', excepté le segment rectiligne AC. Dès lors, si l'on mène une parallèle M"N" à l'axe réel à la distance HB' =(3) HB de la droite KL, on conclut par le même raisonnement que ci-dessus que l'inégalité 2 3 2 est vérifiée en tout point du domaine U qui est situé sur M"N" ou au-dessus de cette droite. En poursuivant le même raisonnement on trouve que, quel que soit l'entier p, l'inégalité aura lieu pour tout point du domaine U dont la distance à la droite KL est supérieure ou ༡ égale à (3)o HB, K' désignant une constante positive qu'on peut égaler à K si K≥1, et à La distance HG des droites EF et KL vérifie l'inégalité > HB> HG. En déterminant l'entier po par la condition 0 on aura donc pour tout point de la droite EF compris dans le domaine U C'est l'inégalité que nous avions annoncée ci-dessus. La ligne A,B,C, aura au moins deux points communs avec la droite EF (les points E1 et F1 dans la première figure page 30). En ces points les inégalités (10)' et (13) auront donc lieu en même temps, d'où l'on déduit 1 Mais on a 2-z' =。 pour toute valeur de n, de sorte qu'il vient 1 ro < ε + K' ε 3% ε Or cette conclusion implique une contradiction si l'on a choisi le nombre & suffisamment petit, et notre théorème est donc exact. D'après ce théorème, l'ensemble des domaine d'indétermination de la fonction points principaux de Eg se confond avec le () au point 。 relatif à la portion du cercle <1 comprise entre deux arcs de cercles tels que F, et 2 (voir la figure page 29). Il en résulte que les points principaux de E forment un ensemble continu, résultat qui avait déjà été obtenu par M. CARATHÉODORY par une autre voie (Cf. la première note page 28). 18. En terminant ce Mémoire nous allons enfin, ne fût-ce que pour prouver l'efficacité de notre méthode, établir un théorème nouveau relatif aux propriétés de la fonction 4 (?) dans le voisinage d'un point de la circonférence = 1 qui ne figure pas dans l'ensemble (a). || Soit un tel point, et soient zo et zo les affixes de deux points principaux distincts de l'ensemble E. Il existe alors dans le cercle <1 deux suites de coupures tendant vers le point 50: 1o Chacune de ces coupures sépare le point S。 du point = 0. 2o Chaque coupure sépare celle qui la suit du point = 0. n 3o Entre les coupures σ, et +1 de la suite (14) est toujours comprise la coupure o de la suite (14)'. 4o Sur σ, la fonction (5) tend vers la limite z。 et sur o, vers la limite z', lorsque n augmente indéfiniment. Traçons dans le cercle <1 un arc de cercle I joignant le point 。 avec le point diamétralement opposé, et désignons par y le dernier point où cet arc rencontre la cou 0 pure σ, et par yn+1 le premier point où il rencontre la coupure +1, en allant de 。 à 5′′. Nous allons démontrer ce théorème: Le nombre M étant donné aussi grand qu'on voudra, on aura, à partir d'une certaine valeur de n, où an et pn désignent les extrémités de la coupure o, tendront vers l'infini lorsque n croît indéfiniment. En admettant que ce théorème n'est pas vrai, il existera un nombre positif M. tel que, quelque grand qu'on se donne l'entier no, on puisse trouver un entier n supérieur à no et un arc ▲ pour lesquels l'inégalité on on 0 n+1 Cette fois encore nous nous servirons de la substitution (11). A la portion du cercle<1 comprise entre les coupures σ, et +1 il correspondra, dans le plan des u, une aire limitée par deux parallèles KL et K'L' à l'axe réel à la distance l'une de l'autre, et par deux lignes An Bn et An+1 B2+1 qui les réunissent, et qui correspondent respectivement aux coupures on et on +1. L'arc sera transformé en une parallèle E F à l'axe réel, laquelle, en allant de gauche à droite, rencontrera la ligne An+1B2+1 pour la première fois au point Gn+1, correspondant à y +1, et la ligne A, B, pour la dernière fois au point G, qui correspond à y (voir la première figure page 34). La longueur du segment rectiligne GG +1 est égale à tend vers l'unité lorsque n augmente, on aura donc d'après (15), en désignant par une constante supérieure à log Mo, Gn Gn+1<<1, pourvu qu'on ait choisi no suffisamment grand. En admettant que la distance des droites EF et K'L' soit, désignons par G, et G+ les premiers points, à partir de B, et B+1, où les lignes B, A, et В +14, +1 rencontrent EF (dans la figure le point G+1 se confond avec Gn+1). On aura Faisons maintenant la représentation conforme de la bande comprise entre les droites EF et K'L' sur le cercle v1, de façon que ces droites correspondent, respectivement aux moitiés inférieure et supérieure de la circonférence v1 et que le milieu du segment π 2' GG+1 corresponde au point v=-i. Soient bug'n et b2+19′′ +1 les lignes du cercle |v|<1 correspondant à B, G, et B,+1G+1. En tenant compte de l'inégalité (16) et de ce que la distance des droites EF et K'L' est > on conclut aisément que la longueur de l'arc g'ng'n+1, lequel admet comme milieu le point i, est inférieure à 0, où positif plus petit que l'unité qui reste le même quelque grand que soit figure ci-dessus). = désigne un nombre no (voir la seconde Posons (5) y (u) = x(v) et considérons la fonction x (v) — z。. Elle est régulière dans le cercle v <1, et son module est inférieur à K en tout point de ce cercle et inférieur à tel nombre qu'on voudra sur les lignes bug'n et ba+19+1 si l'on a choisi l'entier n, suffisamment grand. Or chacune de ces lignes retranche de la circonférence |v|=1 un arc dont la longueur est >2(1-0). En déterminant l'entier p par la condition a lieu pour tout point P de l'axe réel compris entre le dernier point, cn +1, où l'on rencontre la ligne b+19+1 et le premier point, c,, où l'on rencontre la ligne b, g'n en suivant l'axe réel depuis v1 à v=1. 1. En effet, en faisant la représentation conforme du cercle |v|<1 sur lui-même de telle façon que les points 1 et 1 restent invariants tandis que le point P soit transféré au centre du cercle, on constate aisément, à l'aide des propriétés bien con π nues des substitutions linéaires, que l'une au moins des lignes qui correspondront à bug', et b2+19+1 retranchera de la circonférence du cercle un arc de longueur supérieure à 1⁄2 (1 − 0), et l'exactitude de notre assertion résulte donc du no 3. 2 Au segment c,C+1 de l'axe réel du plan des v correspond, dans le plan des u, un segment rectiligne parallèle à l'axe réel qui joint les lignes A,B, et A,+1B +1, et par suite, dans le plan des z (voir la figure page 33), un arc de cercle joignant les coupures σ, et +1. D'après ce qui précède, l'inégalité est donc vérifiée en tout point de cet arc. Mais celui-ci rencontrera nécessairement la coupure o', sur laquelle est vérifiée l'inégalité si l'on a choisi l'entier no suffisamment grand. Aux points d'intersection de ces lignes les deux inégalités ci-dessus auront donc lieu à la fois, d'où l'on tire Or cette conclusion implique une contradiction si l'on a pris & suffisamment petit, d'où suit l'exactitude de notre théorème. (ACHEVÉ D'IMPRIMER LE 17 JUILLET 1915) |