für jede

1. Auf einen materiellen Punkt, dessen Masse man der Einfachheit wegen gleich Eins annimmt, wirke eine Kraft, welche senkrecht auf einer Geraden, der -Axe, stehen möge und eine Function f(r) des Abstandes r von dieser Axe sei. Man rechnet die Kraft f(r) als positiv, wenn sie anziehend ist. Der Punkt wird sich gleichförmig in einer Schraubenlinie bewegen, wenn man ihm in einer Anfangslage mit dem Radius r。 eine auf diesen Radius senkrechte Anfangsgeschwindigkeit v。 von solcher Grösse erteilt, dass f(ro) die Centripetalkraft der Projection der Bewegung auf eine zur -Axe senkrechte Ebene, d h. einer gleichförmigen Kreisbewegung darstellt. Es sei y der Winkel der Anfangsgeschwindigkeit mit der 5-Axe, w。 die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um diese Axe, folglich

(1)

v。 sin y=w。ro,

so ist die Bedingung der gleichförmigen Bewegung in einer Schraubenlinie

(2 a)

r。wo2 = f (ro),

oder nach (1)

(2 b)

v。2 sin2 y = r。 f (ro) ·

Die Kraft f(ro) muss wie ersichtlich in einer Anziehung bestehen, d. h. es ist f(ro)>0.
Als Coordinaten wähle man die cylindrischen, d. h. Ś, r und den Winkel ℗ des Radius
" mit einer durch die - Axe gelegten festen Ebene, und zwar den Sinn von und so, dass
beide in der gleichförmigen Bewegung des Punktes in der Schraubenlinie mit der Zeit wachsen.
Bei passend gewählter Anfangslage sind die Gleichungen dieser Bewegung

(3)

r=r。; 0 = w。t; [=kw。t,

worin w。 und k=r, cotg y positive Werte haben.

2. Durch eine Störung der gleichförmigen Bewegung in der Schraubenlinie entstehe eine Bewegung mit den Gleichungen

(4)

r = ro+ x; 0 = w1t+y; 5= kw。t+z;

worin x,y,z gewisse unbekannte Functionen der Zeit darstellen. Die gestörte Bewegung (4)
verläuft in demselben Kraftfelde wie die ungestörte Bewegung (3) und ist demnach völlig be-
stimmt, wenn die Art der Störung zu einer bestimmten Anfangszeit, es sei t=0, vorgeschrie-
ben ist. In dem jetzt betrachteten Falle sieht man ohne weiteres, dass dieselbe Störung zu
jeder Zeit denselben Einfluss auf die ursprüngliche Bewegung ausüben muss. Diese wird dann
bekanntlich stationär genannt. Die ursprüngliche Bewegung ist stabil, falls x, y und z auch
mit wachsender Zeit klein bleiben, vorausgesetzt dass eine kleine Störung stattfand, oder ge-
nauer definiert, falls x,y,z zu jeder beliebigen Zeit dadurch beliebig klein gemacht werden
können, dass man die Störung selbst genügend klein wählt.

Zur Berechnung von x, y und z dienen die Gleichungen von LAGRANGE. Es sei

(5)

L=T-V=T+U+ Const.

die LAGRANGE'sche Function, d. h. die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen
Energie des Massenpunktes, oder von einer additiven Constanten abgesehen, die Summe der
kinetischen Energie und der Kräftefunction. Alsdann sind die sog. Variationsgleichungen

4

(6)

worin

d dL OL

Ꮮ

dt dx'

dx

(7)

(8)

U

y' =

=

dy

dt

O

gesetzt wurde. Bei einer ersten Annäherung behält man in diesen Gleichungen nur die in
Bezug auf x, y, z, x', y', z' linearen Glieder und lässt alle Glieder höherer Ordnung weg. In
L hat man also die Glieder bis incl. der zweiten Ordnung zu beachten.

In cylindrischen Coordinaten ist

=

2

1 dr\2

1
v2

1

Τ '- ' ' ~2 = {(dn)" + r2 (10)2 + (d"}) } = {√2 + m2 ('2 + b22);
{} 5'2}

2

2 dt

dt

dt

2

und in dem jetzt betrachteten Falle ist die Kräftefunction des conservativen Feldes

==

=-["f(r) dr + Const.

3. Setzt man jetzt die Ausdrücke (4) in (7) und (8) ein, so erhält man

0;

1

T:

=

= 1) { x22 + (r。 + x)2 (∞ 。 + y')2 + (kw。+2′)2},

1

·

U (r) = U (r。 +x) = U (ro) — f (ro) · x — — ƒ′ (ro) · x2 — ·

be

rie

zu

ann

uch

ge

den

30

er

(11)

und ferner, mit Anwendung der Bezeichnung

L。= T。+U2+Const. = 1/2 (ro2 + k2) w, 2+U (ro) +Const.,

(12)

die LAGRANGE'sche Function bis auf Glieder zweiter Ordnung

(9)

L=Lo+ro3w。y' + kwoz' + [row。2 — f (ro)] x

+ = x2 + 1 ro2y'2 + 1}/{z22 + { [w。2 − ƒ′ (ro)] x2 + 2 row。xy' +
1

und zwar ist diese Gleichung identisch mit (2 a).

Sämmtliche Coefficienten dieses Ausdruckes sind von der Zeit unabhängig, was ein bekanntes
Charakteristicum der stationären Bewegung ausmacht.

Die Gleichungen (6) müssen die Lösung x=0, y =0, z=0 besitzen, welche ja dem Falle entspricht, dass die gegebene Bewegung gar nicht gestört wird. Also dürfen keine Glieder ersten Grades in Bezug auf x, y und z allein in (9) auftreten. Als Bedingung der stationären Bewegung erhält man somit

(10)

ƏL
dx

r。wo2 — f(ro) = 0,

Man erhält ferner aus (9), wenn die Gleichung (10) erfüllt ist,

=

· [∞。2 — f' (ro)] x + 2 r。w。y';

dx 2 rowo dt

OL
=x'; = r2 (wo + y) +2 row。x;
dy'

und zuletzt aus (6) die Differentialgleichungen der Deviationsbewegung

+ro2

day dt2

ᏧᏞ

ду

d2x

am 0;
- [∞。2 — f' (ro)] x - 2 row。 at ́

dt2

=

; y

0;

:0;

=0.

=

=

·kwo+z'

Weil k in diesen Gleichungen nicht enthalten ist, sind die Bedingungen der Stabilität der gleichförmigen Bewegung in einer Schraubenlinie dieselben wie für die gleichförmige Bewegung in einem Kreise unter dem Einfluss einer Anziehung vom Mittelpunkte aus, wie ja zu

erwarten war.

Man genügt den beiden ersten Gleichungen (11), indem man setzt