zeln fläche (27) liegender Schraubenlinie mit dem Radius r. + A, und die Winkelgeschwindigkeit der w。2 — f' (ro) A. 2 0 Drehung dieses Radius ist wo 21000 Wir erteilen jetzt dem Massenpunkte zur Zeit t=0 einen schwachen Stoss mit den Componenten xo' und yo' so, dass die Constante A in (40) verschwindet und die Bewegung stabil bleibt. Man berechnet dann als Werte der Constanten (42) (43) (44) (45) (47) A=0; C=0; yo'=0; B—— Der Stoss muss demnach längs der geradlinigen Erzeugenden der Schraubenfläche erfolgen. r = rot 0 = wot xo x sin xt. 2 rowoxo' (ro2 + k2) n2 (1. 2 rowoxo' (ro2 + k2) x2 2 π x Sie stellen wie die Gleichungen (27) kleine Schwingungen von der Periode um eine gleichförmige Bewegung in einem mittleren Kreise dar. Der Winkel zwischen zwei auf einander folgenden Perihel- und Aphelradien beträgt rof' (ro) n> wo Vro2 + k2 π 2 ი 2 2 √ (3 r。2 — k2) w ̧2 + (ro2 + k2) f' (ro) cos xt). 8. Wie wir gesehen, hängen die Verhältnisse jetzt nicht nur vom Kraftgesetze, sondern auch von der Form der Schraubenfläche ab. Der Stabilitätsbedingung (38) giebt man auch mit Hülfe der Bedingung (33) der stationären Bewegung die Form 2 k2 - 3 ro2 D > -3, k2 - 3 ro2 Für k=0 erhält man die Bedingung der stabilen Bewegung in einem Kreise in einer Ebene, d. h. (46) rof" (ro) welche mit der Bedingung (25) der gleichförmigen freien Bewegung in einer Schraubenlinie übereinstimmt. Speciell ergiebt sich mit f(r)=ur" aus (45) die Bedingung = - Mit wachsendem Werte von r. nimmt die rechte Seite dieser Ungleichung beständig ab, und zwar von dem Werte 1 für r。0 bis zum Werte 3 für ro∞o. Man ersieht hieraus, dass es auf einer gegebenen Schraubenfläche für jeden Wert von n, welcher grösser als — 3 ist, 12 Schraubenlinien giebt, in welchen eine stabile Bewegung möglich ist, wenn man nur ihren Radius genügend gross wählt. Für n>1 ist eine stabile Bewegung in jeder Schraubenlinie möglich. k= Auch der Grenzübergang k∞ ist von Interesse. Die Schraubenfläche verwandelt sich dann in eine Ebene, und w。 werden Null, die gleichförmige Bewegung längs einer Schraubenlinie geht über in eine gleichförmige Bewegung längs der früheren geradlinigen Axe der Schraubenfläche. Aus (35) und (38) erhält man dabei die Bedingungen, welche das Kraftgesetz erfüllen muss, und zwar sind sie (48) ƒ (0) = 0; f′ (0) > 0. Man kann leicht diese Bedingungen der stabilen gleichförmigen Bewegung in einer Geraden direkt ableiten; sie gelten sowohl in Bezug auf den Raum, wie in Bezug auf Bewegungsstörungen in einer durch die Gerade gelegten Ebene. Für den von der Molekularbewegung verursachten Druck auf die Flächeneinheit im Inneren eines homogenen und isotropen einfachen festen Körpers habe ich in meiner letzten Arbeit über diesen Gegenstand 1) folgenden Ausdruck hergeleitet: (1) (3) 2 E (cp) g do ' In diesem Ausdrucke, welcher einfach harmonische Molekular vibrationen voraussetzt, bedeutet t die vom Gefrierpunkte des Wassers gerechnete Temperatur des Körpers, b' den entsprechenden mittleren linearen Ausdehnungskoefficienten, T。, (c) und d。 bezeichnen die absolute Temperatur, die specifische Wärme bei konstantem Drucke und die Dichte für t=0. E ist das mechanische Äquivalent der Wärmeeinheit und g die Beschleunigung der Schwere. Die Grösse b ist ein linearer Ausdehnungskoefficient, der durch folgende Gleichung definiert wird: (2) bT=b。To+b't, t= wo T-Tot die absolute Temperatur und b, den Wert von b' für t-To bezeichnen. Für den Koefficienten b1 gilt die Gleichung: 1 /db b1 = b bdt p 1 in welcher durch den Index, mit dem der Differentialkoefficient bezeichnet ist, angegeben wird, dass der genannte Koefficient sich auf eine Temperaturänderung bezieht, bei welcher der äussere Druck p auf die Flächeneinheit konstant ist. Aus der kinetischen Theorie der einfachen festen Körper, die ich in früheren Arbeiten entwickelt habe, folgt, dass, wenn die specifische Wärme bei konstantem Drucke für einen solchen Körper eine lineare Funktion der Temperatur ist, in welcher Form sie im Allgemeinen ausgedrückt werden kann, der Koefficient b1 als eine von der Temperatur unabhängige Grösse 1) Öfversigt af Finska Vetenskapssocietetens Förhandlingar XLVIII, Nr 8. Gl. (34). 1905–1906. |
