Falls wir die Benennungen aus der Euklid'schen Ebene auf die Grenzkugel übertragen, so können wir sagen, dass (18) eine Ellipse ist. Bei veränderlichen 。 erhalten wir eine Schaar von Ellipsen, die sämtlich durch den Anfangspunkt gehen. Weil die Gleichung des Kalottenrands ist, so geht aus (18) unmittelbar hervor, dass die Kurven niemals aus der Kalotte austreten; die rechte Seite in (18) ist nämlich niemals negativ. Istok d. h. das Büschel von der ersten Art, so kann niemals gleich 2 sein und die Ellipse kann somit in keinem Punkt den Kalottenrand erreichen. = Ist k oder also das Büschel von der zweiten Art, so berührt die Kurve (18) den Kalottenrand im Punkt § = k. Wenn schliesslich >k ist oder also das Büschel von der dritten Art, so ist zu beachten, dass die Polare von §, in Bezug auf den Kalottenrand, 0 den Kalottenrand schneidet. Aus (18) geht dann hervor, dass die Kurve grade durch die beiden Schnittpunkte geht, wo sie dann natürlich den Kalottenrand berührt. Die hiermit betrachteten drei Arten von Kurven des Kurvenbüschels (18) sind also die Abbilder der drei Arten von Zykeln der Ebene. Falls o sich von 0 bis +∞ verändert, so dehnen sich zuerst, so lange sok ist, die Ellipsen aus, indem jede Ellipse den zugehörigen Punkt umschliesst. Als u den Kalottenrand überschreitet, geht die Ellipse durch S。 und berührt den Kalottenrand. Wenn S。 weiter fortrückt, so zieht sich die Kurve gewissermassen zurück, indem sie durch die Schnittpunkte der Polare mit dem Kalottenrand geht und daselbst den Rand berührt. Für ∞ geht sie schliesslich in den doppelten längs der 7-Achse fallenden Diameter des Kalottenrands über. = Die hiermit beendeten Untersuchungen können wir übrigens direkt aus (18) ablesen, falls wir nämlich beachten, dass die Kurve (18) in derjenigen Kurvenschaar zweiter Ordnung eingeht, die von dem Kalottenrand und der doppelt gezählten Polare §2 + n2 = k2 (k2 — § §)2 = 0 des Punkts so festgelegt wird. Es ist nämlich die Kurve (18) diejenige Kurve dieser Schaar, die durch den Anfangspunkt hindurchgeht. Die Sphären und ihre Trigonometrie. 19. Die in der vorigen Abteilung betrachtete Schaar von Strahlenbüscheln der Ebene ist ein Diametralschnitt einer Schaar von räumlichen Strahlenbündeln, nämlich von allen denjenigen Bündeln, die durch die positive x-Achse festgelegt werden. Die Zykeln sind dabei die Spurlinien in der Diametralebene von der Schaar der durch O gehenden ortogonalen Trajektorienflächen dieser räumlichen Bündel. Diese Sphären bilden eine stetige Schaar von Flächen, die allmählich in immer grössere Kugeln sich ausdehnen um durch eine Grenzkugel in die aeqvidistanten Flächen überzugehen. Diese werden immer flacher und gehen schliesslich in die durch O senkrecht auf der x-Achse stehende Ebene über. Da die hiermit entstandene räumliche Konfiguration dadurch entsteht, dass die in der vorigen Abteilung betrachtete ebene Konfiguration um die x-Achse sich herumdreht, so hängen die Sphären von demselben Parameter r ab. Diesen Parameter nennen wir den Radius der Sphäre. Die Diametralebenen des zugehörigen Bündels nennen wir ebenfalls Diametralebenen der Sphäre. Die Diametralebenen schneiden aus der Sphäre Zykeln aus und zwar bei der Kugel gewöhnliche Kreise, bei der Grenzkugel Grenzkreise und bei der aeqvidistanten Fläche aeqvidistante Kurven zu den. Durchschnitten der Diametralebene mit der Polarebene. Schliesslich ist noch, wenn die Sphäre eine Ebêne ist, der Durchschnitt mit der Diametralebene natürlich eine Gerade. Wir werden im Folgenden die Trigonometrie der von Zykeln gebildeten Dreiecke auf einer Sphäre näher entwickeln. 20. Wir fangen mit der Ebene an. Es sei also in der Ebene ein geradliniges Dreieck mit den Winkeln A, B, C und den gegenüberliegenden Seiten a, b, c gegeben. Wir ziehen von C aus die Senkrechte CD auf AB und erhalten dadurch zwei rechtwinklige Dreiecke ACD und BCD. Wir bezeichnen CD mit h nnd die Projektionen von a und b auf e mit a und 8. Falls wir nun das Dreieck ACD auf die in A berührende Grenzkugel projizieren, so erhalten wir auf der Grenzkugel ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse k cos II (b), der Kathete k sin II (8) cos II (h) und dem gegenüberliegenden Winkel A oder --A jenachdem A kleiner oder grösser als ist. Also ist π 2 Falls wir aus diesen Gleichungen eliminieren, so erhalten wir und wir erhalten somit schliesslich die allgemeine Formel, den s. g. Sinussatz: Aus dieser Formel lassen sich alle anderen Formeln der Trigonometrie ableiten. Man sieht das unmittelbar ein, wenn man bedenkt, dass die Gleichung (20) mit dem Sinussats der sphärischen Trigonometrie des Euklid'schen Raums formal zusammenfällt; sie unterscheidet sich nur dadurch, das der Kugelradius mit ki ersetzt ist. 21. Wir gehen jetzt zu der aeqvidistanten Fläche über und nehmen also auf ihr ein von aeqvidistanten Kurven gebildetes Dreieck an mit den Winkeln A, B, C und den Seiten a, b, c. Wenn wir dieses Dreieck auf die Polarebene projizieren, so erhalten wir ein gradliniges Dreieck, das genau dieselben Winkel A, B und C aufweist. Seine Seiten seien a', b' und c'. Dann ist nach (20) Nun lassen sich aber die Seiten a', b' und c' einfach durch bezw. a, b und e ausdrücken. Wir nehmen um dies zu zeigen auf einer aeqvidistanten Kurve zwei Punkte R und T und projizieren sie als R' und T'' auf die Polare. Wir bezeichnen die Sehne RT mit o und ihre Projektion R'T' mit o'. Weiter sei S der Mittpunkt der Sehne RT und S' die Projektion von S. Es ist dann S' der Mittpunkt von R'T'. SS' sei mit p' bezeichnet. Wenn wir nun das Viereck STT'S' auf die in S' berührende Grenzkugel projizieren, so geht es in ein Rechteck der Grenzkugel über, dessen gegenüberliegende Seiten also gleich lang sind. Folglich ist =sin II (p') cos II Lassen wir R und T sich einander unbegrenzt nähern, so entsteht hieraus durch Grenzübergang die Formel = do' sin II (p) do wo do und do' bezw. die Linienelemente der Kurve und der Polare und p den Abstand der Kurve von der Polare bedeuten. Hieraus folgt dann die Formel zwischen dem Bogen und seiner Projektion σ' auf der Polare. Kehren wir nunmehr zur Formel (21) zurück, so ist nach (22) Dies ist die Grundformel der Trigonometrie auf der aeqvidistanten Fläche. Die Gleichung (23) enthält die Formel (20) als Spezialfall für p=0. Sie kann allgemein aufgefasst werden als die Grundformel der Trigonometrie des Bündels dritter Art, indem sie nämlich falls p von 0 bis ∞ variiert die Grundformel der Trigonometrie sämtlicher ortogogonalen Trajektorienflächen darstellt. 22. Wir gehen jetzt zur Kugel über und bezeichnen wieder die Winkel des Dreiecks mit A, B und C und die Längen der Seiten mit a, b und c. Wir bezeichnen mit a, ß und y die zu a, b und c gehörenden Zentriwinkel und wollen vorläufig eine beziehung zwischen A, B, C, a, ß und y ableiten. Deshalb führen wir dieselbe Konstruktion wie in der Ebene aus und bekommen das rechtwinklige Dreieck ACD. Wir bezeichnen den zu CD hörenden Zentriwinkel mit z. Wird das Zentrum der Kugel mit O bezeichnet, so legen wir durch C eine Ebene senkrecht auf OA und bekommen das rechtwinklige Dreieck A'CD' als Durchschnitt dieser Ebene mit der Ecke OACD. = In dem Dreieck A'CD' ist der Winkel A' A. Bezeichnen wir A'C mit b' und CD' mit h', so ist nach Nr. 20 wor der Radius der Kugel ist, und aus dem rechtwinkligen Dreieck OD'C Die nächste Aufgabe ist nun, die Winkel a, ß und y durch die Längen a, b und c auszudrücken. Um dies leisten zu können kehren wir nach der Gleichung (6) zurück um zuerst die Beziehung zwischen einem Bogen auf einem Grenzkreis und der zugehörigen Sehne abzuleiten. Wir legen daselbst Grenzkreise mit der x-Achse als Achse durch O und den Punkt x und bezeichnen ihre Bögen zwischen der x-Achse und der Gerade g mit lo und l. Dann ist nach (14) Dies ist die Beziehung zwischen dem halben Grenzkreisbogen l, und der halben Sehne p. Liegt nun ein beliebiger Kreis mit dem Radius r vor, so können wir ihn auf der Grenzkugel niedergelegt denken, so dass er daselbst einen Kreis mit dem Mittelpunkt O ausmacht. Seine Ebene steht dann senkrecht auf der Achse go durch O. Bezeichnen wir den Radius auf der Grenzkugel mit σ, so ist nach (25) σ = k cot II (r). Ziehen wir nunmehr zwei Radien, die den Winkel a einschliessen, so begrenzen sie den Bogen a auf der Peripherie. Die entsprechenden Radien auf der Grenzkugel bilden ebenfalls mit einander den Winkel a und es ist also Insbesondere ist der Umfang des Kreises mit dem Radius r gleich 2 k cot II (r). Die Formel (26) giebt uns die gewünschte Beziehung zwischen dem Zentriwinkel und dem Bogen. Wenn wir nunmehr mit Hilfe von (26) die Ausdrücke für a, ß und y durch bezw. a, b und e in (24) eintragen, so lautet die Grundformel auf der Kugel (28) 23. Falls wir noch die Grenzkugel berücksichtigen, wo natürlich sin A: sin B: sin Ca: b: c, so haben wir die im Anfang dieser Abteilung gestellte Aufgabe erledigt. Wir haben nämlich für alle Arten von Sphären die zugehörige Trigonometrie entwickelt. Es ist nun wieder besonders von Interesse zu sehen, wie die gefundenen Formeln (20), (23), (27) und (28) alle von derselben Formel, nämlich von der Formel (27) für verschiedene Werte von r geliefert werden. Weil nämlich nach (12) 1 |
