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un autre point x situé à l'intérieur du domaine X, le point ayant pour affixe z=f(x) passera du point P à un certain point z intérieur au domaine Z qui sera le même quel que soit le chemin suivant lequel le point x aura passé de sa position initiale à sa position finale, pourvu que ce chemin reste compris dans le domaine X. En d'autres termes, l'égalité (1) fait correspondre à tout point x intérieur au domaine X un point z et un seul intérieur au domaine Z. En vertu de cette correspondance univoque, on peut considérer G (2, 2) comme une fonction de x, que nous désignerons par (x):

F(x) = G1(f(x), %).

Cette fonction, qui est définie pour tout point à l'intérieur de X, est évidemment positive dans ce domaine.

Pour la démonstration, nous introduirons encore la fonction monogène F(2, 2) dont G2(2, 2) constitue la partie réelle, fonction qui est déterminée à une constante additive purement imaginaire près, et dont le développement dans le voisinage du point Pest de la forme

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en admettant que P soit un point ordinaire de la surface Z. En vertu de la correspondance (1), F(2, 2) se transforme en une fonction de x,

F(x) = F2(f(x); %),

dont la partie réelle est évidemment égale à G (x).

Cela posé, soit x'un point quelconque du domaine X tel que le point correspondant z' du domaine Z soit distinct du point P

Siz' n'est pas un point de ramification pour la surface Z, la fonction F(2, 2) peut se développer suivant les puissances entières et positives de z-z'. Comme, d'autre part, 2 ~ 2′ = f (x) — f (x′) peut se développer suivant les puissances entières et positives de x-x', il en sera de même de la fonction F(x) et, par suite, la partie réelle G (x) de cette fonction est une fonction harmonique régulière dans le voisinage du point x'.

Si z'est pour Z un point de ramification d'ordre q, on peut développer la fonction

1

F(2, 2) suivant les puissances entières et positives de (z-2)2. Or il résulte de la condition (b) que, lorsque x fait le tour du point x', le point correspondant z décrira autour du point z'une courbe qui se ferme sur la surface Z, en sorte que l'expression (≈—z')a reprendra sa valeur initiale. Cette expression étant par suite uniforme et régulière dans le voisi nage de x', il en est de même de F(x), et on arrive encore à cette conclusion que (r) est une fonction harmonique régulière dans un certain voisinage du point x'.

Soit maintenant x'un point de X auquel, en vertu de (1), correspond le point P du domaine Z, et admettons d'abord que P n'est pas un point de ramification. En dévelop pant, dans l'équation (6), z-z, suivant les puissances de x-x' et désignant par n l'ordre de

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la première dérivée de f(x) qui ne s'annule pas pour x=x', on trouve pour F(x) un développement de la forme

Si P est pour la surface Z un point de ramification d'ordre q, on a dans le voisinage de ce point

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est régulière au point x'. En supposant qu'elle admet ce point comme un zéro d'ordre n, on retrouve encore le résultat (7).

En résumé, nous avons donc trouvé que G(x) définit dans le domaine X une fonction harmonique uniforme et positive, n'admettant d'autres singularités que les points x' auxquels, en vertu de (1), correspond le point P du domaine Z. Dans le voisinage d'un point x', cette fonc

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qui définit dans X une fonction harmonique uniforme ayant les mêmes points singuliers que G(x), sauf qu'elle est régulière au point x dans le cas où ce point est un zéro simple pour f(x)--f(x), ou pour la racine qième de cette expression si P est un point de ramification d'ordre q.

Si notre assertion n'était pas vraie, la limite inférieure de D (x) dans le domaine X serait négative; désignons-la par -L. D'après un théorème bien connu, on pourrait alors trouver, à l'intérieur du domaine X ou parmi ses points-limites, au moins un point tel que la limite inférieure de D (x) fût égale à -L dans toute portion de X qui le renferme à l'intérieur. Soit P un point jouissant de cette propriété.

elop

ge

Le point P est nécessairement situé à l'intérieur du domaine X. En effet, x étant un point-limite quelconque de ce domaine, il résulte de la propriété fondamentale de la fonction de Green que G(x, x) tend uniformément vers zéro lorsque x tend vers ≈ en restant à l'intérieur de X. Comme (x) est positive, la limite inférieure de D(x) sera donc plus grande que dans la portion de X comprise dans un cercle suffisamment petit ayant x pour centre, ou, si x=∞, dans la portion de X qui est extérieure à un cercle de rayon suffisamment grand ayant son centre à l'origine.

D'autre part, P ne peut pas être l'un des points singuliers de D(x), puisque cette fonction, d'après ce que nous avons démontré au no 2, est positive et d'ailleurs aussi grande qu'on voudra dans un voisinage suffisamment restreint de l'un quelconque de ces points. Donc la fonction D (x) est régulière au point P et prend par suite en ce point la valeur - L.

Nous sommes ainsi arrivé à cette conclusion que la fonction harmonique D'(x) atteint sa limite inférieure L dans le domaine X en un point P où elle est régulière et qui est situé à l'intérieur du domaine. Or il résulte d'une propriété fondamentale des fonctions harmoniques que ceci n'arrive que dans les cas où la fonction en question se réduit à une constante, et l'on devrait donc avoir D(x)=-L pour tout point x pris à l'intérieur du domaine X. Mais nous avons vu plus haut que cette égalité ne saurait subsister dans un voisinage suffisamment restreint d'un point-limite de ce domaine 1). Cette contradiction prouve l'exactitude de notre assertion.

4. A l'aide de l'inégalité (8), on démontre facilement les différentes propositions énoncées au no 1.

Nous ferons d'abord observer que, en vertu des propriétés connues de la fonction de Green, on a Gx(x, x)>λ à l'intérieur et Gx(x, x)<2 à l'extérieur de la courbe (3), et que la fonction G2(2, 2) jouit des propriétés analogues par rapport à la courbe (4).

G

Ayant fixé un point quelconque x' à l'intérieur de la courbe (3), on aura donc x(x', x)>λ et par suite, d'après (8), G(x')>λ. Mais F(x') = G2(2′, ≈。), z′ désignant le point du domaine Z qui correspond au point x' en vertu de (1). On aura donc G2 (2', z)>2, inégalité qui signifie que le point z' est situé à l'intérieur de la courbe (4), et la première de nos propositions se trouve ainsi démontrée.

Soit maintenant x' un point de la courbe (3), en sorte que x(x', x)=2, et admettons que le point correspondant soit situé sur la courbe (4), c'est-à-dire que G2(2′, z)=λ. . On aura aussi (x')=λ et par suite, d'après (9), D(x)=0. La limite inférieure de la fonction D(x) dans le domaine X est donc égale à zéro, puisque la fonction ne devient jamais négative, et cette limite est atteinte en un point régulier de D (x) situé à l'intérieur du domaine. Il en résulte, d'après le théorème dont nous nous sommes déjà servi au no 3, qu'on a pour tout point x à l'intérieur de X l'égalité D(x)=0, ou bien

') Le domaine X admet nécessairement des points-limites, puisque, par hypothèse, on peut le représenter sur l'aire d'un cercle.

Donc, quel que soit λ, les points z correspondant aux différents points de la courbe (3) feront tous partie de la courbe (4).

Pour prouver que, dans l'hypothèse actuelle, ces deux courbes se correspondent point par point et que la fonction f(x) donne la représentation conforme du domaine X sur le domaine Z, nous nous servirons de la fonction monogène F(x, x) dont Gx(x, x) est la partie réelle. (x) étant partie réelle de F(x), il résulte de l'égalité (10) que la partie réelle de la différence F(x)-Fx (x, x) s'annule identiquement dans X et que, par suite, cette différence se réduit à une constante purement imaginaire. En choisissant convenablement les constantes additives qui figurent dans Fx (x, x) et F2(2, 0), on peut d'ailleurs égaler cette constante à zéro, et on aura alors identiquement

Il résulte de la théorie de la fonction de Green que, lorsqu'on fait parcourir au point x la courbe (3) dans le sens direct, la partie réelle de i F(x, x) ira constamment en croissant et que son accroissement total sera égal à 2 lorsque x sera revenu au point de départ. D'après (11), il en est de même de la partie réelle de i F(x), et, en se rappelant la définition de la fonction F(x), on voit donc que, lorsque x décrit la courbe (3) dans le sens direct, le point correspondant z du domaine Z se déplacera suivant la courbe (4) de telle manière que la partie réelle de i F2 (2, 2) aille constamment en croissant et que son accroissement total, lorsque x revient au point initial, soit égal à 2î. Mais cela veut dire que le point z, sans s'arrêter, fait une fois le tour de la courbe (4) dans le sens direct. Les courbes (3) et (4) se correspondent donc point par point, et, comme ceci a lieu pour toute valeur de 2, il en est de même des domaines X et Z. Par suite, la fonction f(x) donne bien la représentation conforme du domaine X sur le domaine Z, comme l'exige la seconde partie de notre théorème.

Pour démontrer la dernière partie du théorème, cherchons la valeur que prend la fonction D(x) au point x, en admettant d'abord que P soit un point ordinaire de la surface Z. En substituant dans la seconde des égalités (2)

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on trouve, sous la condition f'(x)‡0, pour G(x) un développement de la forme;

H(x-x) étant une fonction harmonique qui s'annule pour x=x. De cette égalité et de la première des égalités (2) on conclut que, dans l'hypothèse actuelle, la fonction D (x) est régulière au point x, et qu'elle y prend la valeur

Cette valeur devant, d'après le n° 3, être supérieure ou égale à zéro, il en résulte bien

et ce résultat reste évidemment vrai si l'on supprime la condition f'(x)0.

Si l'égalité a lieu, on a D (x)=0, et nous avons vu plus haut qu'il en résulte forcément que la fonction f(x) donne la représentation conforme du domaine X sur le domaine Z. Si Pest pour Z un point de ramification d'ordre q, le développement de G2 (2,20) dans le voisinage de ce point est de la forme (2)' et, d'autre part, on a

S

a

Notre théorème se trouve ainsi démontré dans toutes ses parties.

Nous ferons encore remarquer que l'inégalité (5) n'est qu'un cas-limite de la première partie du théorème. En effet, d'après les égalités (2), l'équation de la courbe (3) peut se mettre sous la forme

1 λ

et & tendant vers zéro en même temps que Si c'est un point de la courbe (3) et z' le point correspondant du domaine Z, on aura

Or il résulte de la première partie de notre théorème que

2=00

le point 2' est situé à l'intérieur de la courbe (4)' ou sur cette courbe, et comme ce résultat reste vrai quelque grand que soit λ, il faut bien qu'on ait l'inégalité (5).

5. Le domaine Z est défini, dans chaque cas donné, par les conditions imposées à la fonction f(x) dans le domaine X et qui, dans les applications qui suivent, porteront tantôt

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