Abbildung auf die Grenzkugel. 16. Die hiermit entwickelte Tangenteneigenschaft der Tractrix erhält eine besonders einfache Bedeutung, falls wir die xy-Ebene auf eine sie berührende Grenzkugel durch Vermittelung der Achsen der Grenzkugel projizieren 1). Bei dieser Projektion wird die ganze Ebene auf eine Kalotte mit dem längs der Grenzkugel gemessenen Radius ko ein-eindeutig abgebildet. Die Geraden der Ebene gehen in Grenzkreise auf der Grenzkugel über. Dabei sind die Maasszahlen der Strecke und des Winkels in der Ebene genau mit denjenigen Maasszahlen identisch, die ihren Abbildern auf der Grenzkugel zukommen, falls wir daselbst eine Cayley'sche Maassbestimmung mit dem Kalottenrand als absolutem Gebilde durchführen. Dies vorausgeschickt bemerken wir zuerst, dass das Strahlenbüschel x = const. jedesmal ⚫ in ein Grenzkreisbüschel bei der Projektion übergeht und zwar liegt das Büschelzentrum in unseren drei Fällen bezw. ausserhalb der Kalotte, auf dem Kalottenrand oder innerhalb der Kalotte. Betrachten wir nun jedesmal die Polare o von 2 in Bezug auf den Kalottenrand, so fällt im ersten Fall das Abbild der x-Achse längs dieser Polare, während in den übrigen Fällen keinen Punkt im Inneren der Kalotte hat und somit keiner Geraden in der Ebene entspricht. In dem zweiten Fall berührt den Kalottenrand in 2. ko (k) Die Kurve T wird auf eine Kurve T projiziert. Insbesondere wird die Tangente in dem Punkt P der Kurve auf einen Grenzkreis abgebildet, der die Kurve T in dem Abbild P von P berührt. Wir bezeichnen den Schnittpunkt zwischen diesem berührenden Grenzkreis und mit A und die Schnittpunkte zwischen demselben Grenzkreis und dem Kalottenrand mit M und N, wobei N und A auf derselben Seite von P liegen. Betrachten wir nunmehr das Doppelverhältniss so können wir die in der vorigen Abteilung abgeleitete Tangenteneigenschaft der Kurve T als folgende Eigenschaft ihrer Projektion ausdrücken Längs der ganzen Kurve T ist das Doppelverhältniss λ konstant. (k) ko ko Dies ist für ko unmittelbar einleuchtend, denn es ist in diesem Fall PA das Abbild einer Strecke PA von der Länger und infolgedessen, wegen der Identität der Maasszahlen in der Ebene und der Cayley'schen Maasszahlen auf der Grenzkugel, r = ko log oder 2 Dar eine Konstante ist, so ist der Satz somit in diesem Fall bewiesen. Ist kko, so betrachten wir in der Ebene den Schnittpunkt B zwischen der Tangente 1) Vgl. die Abhandlung des Verfassers: Zur Theorie der Lobatscheffskij'schen Geometrie, Acta Soc. Sc. Fenn. T. XLVI E 7. = und der darauf senkrechten Geraden a const. und sein Abbild B auf der Grenzkugel. Es ist ko dann PB das Abbild einer Strecke von der Länge p und infolgedessen p= logu oder ist. Die Tangente und die darauf senkrechte Gerade = const. gehen aber in harmonische Polaren in Bezug auf den Kalottenrand über, woraus dann offenbar folgt, dass B und A harmonische Pole sind. Infolgedessen ist λ (13) oder also 2p Ko =- e Da p konstant ist, so ist der Satz auch in diesem Fall bewiesen. (14) Die neue Konstante hängt ersichtlich mit der Konstante k durch die Gleichung zusammen. Der Fall kk, ist als Grenzfall für ||∞ anzusehen. Übrigens ist, wie aus (12) und (13) hervorgeht, || > 1. Der hiermit bewiesene Satz ermöglicht in die Natur der Kurven T einzudringen. Wir bezeichnen deshalb mit T (2) eine Kurve auf der Grenzkugel, die die Eigenschaft hat, dass das oben besprochene Doppelverhältniss & längs der Kurve invariant ist, und wollen diese Kurven näher untersuchen. Die Kurve T besteht dann aus denjenigen Teilen der zugehörigen Kurve T (2), die innerhalb der Kalotte liegen. Unseren drei Fällen entsprechend erhalten wir drei Arten von Kurven T (2), die wir mit T1 (2), T2 (2) und T3 (2) bezeichnen. ko 17. Wir fangen mit dem dritten Fall an und lassen dabei die Grenzkugel die Ebene im Zentrum des Strahlenbüschels x const. berühren. const. berühren. Es liegt dann 2 im Mittelpunkt O der Kalotte und infolgedessen unendlich entfernt auf der Grenzkugel. = und die Kurve T, (2) ist somit dadurch charakterisiert, dass dieses Verhältniss längs der Kurve konstant ist. Hiermit treten wir aber in Verbindung mit wohlbekannten Tatsachen und können unmittelbar schliessen, dass die Kurven T, (2) zykloidale Kurven sind, deren Scheitel auf 2+1 dem Kalottenrand liegen. Der Basiskreis hat O zum Mittelpunkt und den Radius ko-1 Für 0 erhalten wir Epizykloiden und für 2>0 Hypozykloiden. Wird k durch die Gleichung (14) als Konstante der Kurve eingeführt, so sind die beiden genannten Fälle durch bezw. k> k。 und k<k, charakterisiert, und es erhält der Radius des Basiskreises den Ausko2 druck k Wir schliessen nun hieraus, dass die Kurven (T), Epizykloiden sind und dass somit für unsere Zwecke nur der Fall k>k, in Betracht kommt. Der Basiskreis hat ersichtlich den Radius k, cos II (p). Dies können wir dann so ausdrücken: Die Tractrix (T), in der Ebene ist die Projektion einer Epizykloide auf der Grenzkugel. Bei dieser Projektion geht der Basiskreis in einen Kreis mit dem durch die Gleichung (8) bestimmten Radius p über, während der Kalottenrand nach der Unendlichkeit projiziert wird. Es liegt somit die Tractrix in diesem Fall ausserhalb des Kreises mit dem Radius p, dessen Peripherie sie nur noch mit Spitzen erreicht. Von einer Spitze läuft die Kurve auf beiden Seiten der Spitzentangente nach der Unendlichkeit. 18. Wir gehen jetzt zu dem ersten Fall über und lassen diesmal die Grenzkugel die Ebene im Koordinatenanfangspunkt berühren. geht dann durch den Mittelpunkt O der Kalotte und liegt unendlich fern. Dieser Fall hängt mit dem eben behandelten eng zusammen. Um dies zu zeigen führen wir beidemal auf der Grenzkugel rechtwinklige Koordinaten ein, indem wir zwei auf einander senkrechte Grenzkreise durch O zu Koordinatenachsen wählen und die Koordinaten längs auf diesen senkrechter Grenzkreise messen. In diesen Koordinaten und hat der Kalottenrand die Gleichung §2+ y2=k2. Wir lassen in dem jetzt vorliegenden Fall die -Achse mit zusammenfallen und betrachten die Projektivität (15) = auf der Grenzkugel. Durch diese wird der Kalottenrand Durch diese wird der Kalottenrand in die gleichseitige Hyperbel § 2 — ŋ2 — k ̧2 übergeführt, wobei nach der Unendlichkeit transformiert wird. Die Kurve T, (2) geht in eine neue Kurve T' (2) über. Bezeichnen wir einen Punkt dieser Kurve mit P und mit M und N die Schnittpunkte zwischen dem berührenden Grenzkreis in P und der gleichPN seitigen Hyperbel, so geht offenbar das Doppelverhältniss & in das Verhältniss über und PM die Kurve T1'(2) ist dadurch charakterisiert, dass dieses Verhältniss längs der Kurve konstant ist. Die Kurve T,' (2) steht somit in genau derselben Beziehung zu der gleichseitigen Hyperbel wie die Kurve T, (2) zu dem Kalottenrand. Hieraus folgt aber offenbar, dass die Kurven T,'(2) aus den zykloidalen Kurven T, (2) durch die imaginäre Affinität hervorgehen. Dabei gehen die reellen Zweige der Kurven T,' (4) aus denjenigen Zweigen der zykloidalen Kurven hervor, die mit rein imaginärer -Koordinate auftreten. Falls wir (15) und (16) zusammensetzen, erhalten wir die imaginäre Projektivität die somit die Kurven T, (2) und T3 (2) in einander überführt. Führen wir auch in dem vor liegenden Fall die Konstante k durch die Gleichung (14) ein, so erhalten wir, jenachdem k> k。 oder k<k。 ist, zwei Arten von Kurven T, (2), wobei die ersteren aus den Epizykloiden und die letzteren aus den Hypozykloiden hervorgehen. Auf die dabei entstehenden metrischen Verhältnisse werden wir später eingehen. 19. Wir betrachten schliesslich den zweiten Fall. Hier liegt 2 auf dem Kalottenrand 22=k,2 und die Polare berührt somit den Kalottenrand in diesem Punkt. Lassen wir in dem Punkt (0, -ko) liegen, so wird durch die Projektivität (18) 2 die Polare nach der Unendlichkeit transformiert, während der Kalottenrand 22+22= k2 in die Parabel 2'2=-72′ übergeht. Wir können hieraus wieder schliessen, dass die durch die Projektivität (18) aus der Kurve T2 (2) entstandene Kurve T2' (2) in Bezug auf die genannte Parabel genau dieselbe Eigenschaft hat wie die oben untersuchten Kurven T, (2) und T,' (2) in Bezug auf den Kreis und die Hyperbel. 2 Falls wir aber nach der Kalotte zurükkehren, können wir sehr leicht die Kurven T2 (2) überblicken. Wir betrachten deshalb dasjenige Grenzkreisbüschel, dessen Zentrum in 2 liegt, und bei jedem Grenzkreis dasjenige Büschel von Kurven zweiter Ordnung in und, welches von dem Grenzkreis, doppelt gezählt, und dem Kalottenrand festgelegt wird. Die so entstandene Mannigfaltigkeit von Kurven deckt sich offenbar mit der Mannigfaltigkeit der Kurven T2 (2). Da nämlich jede Kurve jedes so definierten Büschels von Kurven in sich übergeht bei einer Schaar von projektiven Umformungen, welche den Kalottenrand und in sich überführen, ist jede dieser Kurven eine Kurve T2 (2). Da sie aber keine Einhüllende haben, muss jede Kurve T2 (2) eine derartige Kurve zweiter Ordnung sein. Wir bemerken noch, dass die eben betrachteten verschiedenen Büschel aus einander durch diejenigen projektiven Umformungen der Kalotte in sich hervorgehen, die 2 ungeändert lassen und somit in sich verschieben. Hieraus folgt, dass schon beim Durchwandern eines einzelnen Büschels nach und nach alle möglichen 2-Werte zum Vorschein kommen. Die verschiedenen Kurven mit demselben -Wert liegen in den verschiedenen Büscheln. Für 20 erhalten wir Kurven T2 (2), die innerhalb der Kalotte liegen. Diese sind dann die Kurven (T)2. Für 2>0 liegen die Kurven T2 (2) ausserhalb der Kalotte. Wird k durch die Beziehung (14) als Konstante der Kurve T2 (2) eingeführt, so sind die ersteren Kurven durch kk, und die letzteren durch k<k, charakterisiert. 2 20. Obwohl wir schon in Nr. 13 die Kurve (T), in der Ebene vollständig untersucht haben, wollen wir doch der Vollständigkeit halber von dem jetzt erreichten Standpunkt aus die Kurve festlegen. Wir führen deshalb ein anderes längs der Kurve (T), ebenfalls invariantes Doppelverhältniss ein. Wir bezeichnen mit a' den durch 2 gehenden Grenzkreis, der ein Kurvenbüschel von der oben betrachteten Art bestimmt, und betrachten den auf ∞ liegenden Pol A' von a'. Wir verbinden nun einen Punkt P auf einer bestimmten Kurve des Büschels mit A' und bezeichnen mit M' und N' die Schnittpunkte zwischen dem verbindenden Grenzkreis und dem Kalottenrand. Dann ist das Doppelverhältniss längs der Kurve invariant, so lange P den Grenzkreis a' nicht überschreitet; dann geht es in über. Weiter sind der Grenzkreis PA' und der berührende Grenzkreis PA harmonische Polaren in Bezug auf den Kalottenrand. Alle Kurven mit demselben 2-Wert haben ersichtlich denselben 2'-Wert. Wir wollen eine Beziehung zwischen 2 und 2' ableiten. Dabei bleiben wir bei dem Fall <0. Für jeden solchen Wert von 2 giebt es offenbar bei geeigneter Wahl von a' eine zugehörige Kurve, die durch den Kalottenmittelpunkt geht. Lassen wir dann P mit diesem Punkt zusammenfallen, so ist und es stehen PA und PA' auf einander senkrecht. Infolgedessen erhalten wir aus der Figur: Dies ist die gewünschte Beziehung zwischen und λ'. Setzen wir a' = II (q), so wird dadurch eine neue Konstante q eingeführt, die offenbar der Bedingung genügt. Diese Konstante hat eine einfache geometrische Bedeutung, die hervortritt, falls wir nun auf die Ebene projizieren. Bezeichnen wir nämlich den Schnittpunkt von PA' und a' mit P' und setzen ist. Es ist somit q die Länge der Projektion von PP'. Es geht aber bei der Projektion a' in |