Es lassen sich nun aber die Koordinaten up ve we' durch u. Vg Wp und Uz Vz 3 einfach ausdrücken. Es hat nämlich jede Ebene des von (u ve we) und (uz v3 w3) bestimmten Ebenenbüschels die Koordinaten (93) Up + to uz ve + to v z we + to w s und es ist nur noch der Parameter to so zu bestimmen, dass die zuletzt genannte Ebene durch den Pol von (u v3 w3) geht. Dazu ist aber notwendig, dass Es haben also u ve we die Werte (93), wo to der Wert (94) zukommt. 2 setzen, erhalten wir Y Y (97) Aus (95) und (96) folgt, dass - 2 W1' 2 — 4' 122 _ 1 2 3 — Y1 232 23123 122 +223 31 12 1 -122 (F142-122) (41⁄2 4% -232) (341-312) oder also, dass = wo z2 bei jeder zyklischen Verschiebung der Indizes invariant bleibt. Aus (97) schliessen wir auf Grund von (91) und (92), dass Da aber hier z2 bei jeder zyklischen Verschiebung der Indizes' invariant bleibt, so schliessen wir weiter hieraus, dass bei geeigneter Festlegung der Winkel (99) sin a12: sin a23: sin a31 = sin α12: Sin α23: sin α31. Dies ist der Sinussatz des allgemeinen Dreikants. Bei spezieller Lage des Dreikants erhält man aus (99) die früher abgeleiteten Grundformeln der verschiedenen Trigonometrieen auf den verschiedenen Sphären. |
