et en remontant aux expressions (16) on trouve ainsi la première des égalités lim α= · (mo+m1) p = α1, u = ur " lim 8 = (mo+m1) x = B1, u = u1 :10 29) dont les deux dernières s'obtiendront par un calcul analogue à celui qui précède. Posons maintenant 30) lim y=(mo+m1) 4 = 81, u = us n = n1 + on, n' = n1' + on', t=1, +st; on obtiendra, au lieu des équations (19), (20) et (21), pour déterminer les dix-huit inconnues 31) dq; du = $ = 51 +85, 5' = 51' + 85', Qi (i = 1, 2, où les q, tendent vers zéro et les Q, tendent vers des limites finies et déterminées lorsque u .... rieures à une certaine quantité positive. Cherchons à déterminer une telle quantité x. On voit d'abord que les Q; sont déve 1 loppables quand et le sont. Or on a d'après (10), (30) et (28) 1 Ti To 18), d'où il résulte que ro2 et r2 peuvent se mettre sous la forme Q12 + P(q;), P(q) étant un polynome par rapport aux variables q;, qui vérifie l'inégalité P(q;) 12 Q1 1 + 12 x12 1 <x, même si l'on remplace chaque terme du polynome par sa valeur absolue. tant que 1 1 <*, si l'on détermine, de telle 10 21 manière que 0 ou bien 32) 33) 35) ой 36) 34) i Afin que les Q, restent finis pour q<1, nous prendrons pour, une valeur inférieure à cette limite, à savoir la valeur qui est d'ailleurs choisie de manière à rendre rationnels les coefficients dans les diverses inégalités qui suivent. On aura alors Irol et r1>Ve12-12 Q1 1 -12x2 Comme d'autre part 11, net ||< 15 x1, quand │q;│<%, { Ë{, on trouve successivement, à l'aide des égalités (5), (6) et (15), 37) et enfin ୧୫ 21 = = 2 7 h ՊՈՆ» (3 + h (m + m1)) + — (9 | K | + V12 + 6 V, x, +3 ׂ2), 2 x1 g la vitesse V1 étant donnée par l'égalité 21 *) Cette expression s'obtient en prenant |α, |, | P1 | et | y1 |≤3 (mo+m,), ce qui convient aussi au cas plus général étudié plus tard. En désignant par Q la plus grande des six quantités on est donc sûr que 38) 39) 18;1<Q tant que q,<21. Изо Dès lors, d'après les théorèmes connus sur l'existence des intégrales d'un système d'équations différentielles 1), nous pouvons affirmer que les solutions q, des équations (31) qui tendent vers zéro en même temps que u-u, sont des fonctions holomorphes de u au environ de u, et par suite développables en séries suivant les puissances ascendantes de u et que ces séries convergent tant que = 1 + N 6. En calculant maintenant les premiers termes des développements des q, on trouve sans peine: mo + mi mo + m1 6 mo + mj mo + m1 mo + m1 mo + mi 211 3 (mo+m1) + mo + m1 + λ1 x1, = n'='ni' ԴՈՆ 2 mo + m1 +212 M (mo+m1) M (mo+m1) y' = (m。 + m1) x (u — u1) +···, 2' = (m + m1) 4 (u — uj) +···, .. j' = (m + m1) (uu1) + tous les coefficients ayant des valeurs réelles. De la dernière équation on peut tirer u-u, sous forme d'une série suivant les puissances entières et positives de (t-t,), et, en substituant cette série au lieu de u-u, dans 1) Voir p. ex. PICARD, Traité d'Analyse, Tome II, Chap. XI. , ... sont aussi toutes développables les formules (40), on trouve que les quantités §, n, 5, ... Par les séries ainsi obtenues nous pouvons, en particulier, calculer les valeurs des quantités r, x, y, ... dans le mouvement considéré pour chaque valeur réelle de t comprise dans l'intervalle de t1 ε à t1. Mais ces mêmes séries nous permettront encore de définir une continuation du mouvement de nos corps après le choc. La seule continuation réelle s'obtient évidemment en choisissant la détermination réelle et positive de (t-t1). La valeur de cette radicale étant réelle et négative pour les orbites primitives, on voit donc que, pour passer de celles-ci aux nouvelles orbites, il faudra faire décrire à la variable complexe t un chemin tournant autour du point t1 de telle manière que l'argument de t-t1 augmente ou diminue de 3 π. D'ailleurs, si l'on prend pour variable u au lieu de t, les nouvelles orbites seront évidemment représentées par les développements (40) en y faisant u-u1>0. D'après le principe du prolongement analytique, les coordonnées des corps vérifieront encore pour t>t, les équations différentielles du mouvement et leurs intégrales premières, de sorte que la constante des forces vives et celles des aires garderont les valeurs qu'elles avaient avant le choc. De même, l'égalité r2 — (x2 + y2+22)=0 restera constamment vérifiée, et comme, d'après (40), la quantité ŕ est positive après le choc, on voit qu'elle représentera toujours la distance Po P1. Il résulte des développements (40) que les rapports tendent vers les mêmes limites y, x, y, différentes de zéro, lorsque t tend vers t1, soit en croissant, soit en décroissant. On voit donc que les orbites des corps P. et P1 présenteront chacune un point de rebroussement au point où ces corps viennent se choquer. Au contraire, l'orbite du corps P2 restera continue dans le voisinage de l'instant t1 du choc. 1 Il va sans dire que, lorsque nous parlons de la continuation du mouvement après un choc, nous supposons qu'il s'agisse de corps idéaux qui se réduisent à des points matériels, sans quoi, dans le voisinage de l'instant t1, d'autres forces que leur attraction mutuelle entreraient en jeu. 7. Puisque les coordonnées de nos points idéaux vérifient encore pour t>t1 les équations (1), (2) et (3), les résultats obtenus plus haut resteront vrais aussi pour le mouvement après le choc, qui, en particulier, ne cessera d'être régulier que lorsqu'un nouveau choc advient. Supposons que ceci ait lieu à l'instant t2; nous nous proposons de chercher une limite inférieure de l'intervalle t2-t1. En se reportant au no 5, on voit aisément que les q, sont <x, tant que │uu1 <Q2'. Li D'après (33) il s'ensuit que les distances ro et r1 sont >0 quand u-u, <Q2'. Si un choc a lieu après l'instant t, durant que |uu|<Q2', ce sera par suite la distance r qui deviendra nulle. Faisons croître u par des valeurs réelles en partant de la valeur u,. Il suit de (21) ou de (14) que r, partant de la valeur 0, ira constamment en croissant, au moins tant que mo + m1 + r L >0. Mais, selon (35), on a L<, quand u-u, <Q2'. Pour les valeurs de r satisfaisant à l'inégalité Deux cas sont maintenant possibles: Premier cas: 0<r<22 quand u-u1<Q2'. On tire alors successivement des équations (21) et (42) - ༦1), (m + m1) (u - u1), 1 t-t1> (m。 +m1) (u — u1)3, 12 = quand u-u1Q2', d'où suit immédiatement que l'intervalle t2- t1 est plus grand que 1 12 r < (mo+m1) Q2'3. = Second cas: r = 22 pour u-u, o (<Q2), tandis que 0<r< si uu1<σ. En ayant égard aux inégalités (42), on tire encore des équations (21) les inégalités 3 4 (m。 + m1) (u — u1)2, t-t1> (mo+m1) (u — U1)3, qui sont valables tant que u-uo. En faisant uuσ, on aura alors 3 4 1 12 ce qui donne, en substituant à 22 sa valeur, (mo + m1) 02, |
