10 et en remontant aux expressions (16) on trouve ainsi la première des égalités dont les deux dernières s'obtiendront par un calcul analogue à celui qui précède. on obtiendra, au lieu des équations (19), (20) et (21), pour déterminer les dix-huit inconnues d§, dn, d5, de', dn', 85', x, y, z, x', y', z', da, dß, dy, r, r' et dt dix-huit équations de la où les q; tendent vers zéro et les Q, tendent vers des limites finies et déterminées lorsque u tend vers u1. De plus les Q, sont développables en séries suivant les puissances ascendantes des q1, qui seront certainement convergentes tant que les quantités |, | resteront inférieures à une certaine quantité positive. Cherchons à déterminer une telle quantité z1. On voit d'abord que les Q, sont déve P(q) étant un polynome par rapport aux variables 4,, qui vérifie l'inégalité tant que │q;│<%,, même si l'on remplace chaque terme du polynome par sa valeur absolue. Donc et sont certainement développables pour |,<, si l'on détermine, de telle 1 Το manière que 1 71 12 1,12x12 < (12 Afin que les Q, restent finis pour |;|<1, nous prendrons pour x, une valeur inférieure à cette limite, à savoir la valeur qui est d'ailleurs choisie de manière à rendre rationnels les coefficients dans les diverses inégalités qui suivent. On aura alors *) Cette expression s'obtient en prenant |α, |, |B1 | et | y1 | ≤ 3 (mo+m1), ce qui convient aussi au cas plus général étudié plus tard. Dès lors, d'après les théorèmes connus sur l'existence des intégrales d'un système d'équations différentielles 1), nous pouvons affirmer que les solutions q, des équations (31) qui tendent vers zéro en même temps que u-u, sont des fonctions holomorphes de u au environ de u, et par suite développables en séries suivant les puissances ascendantes de u-u, et que ces séries convergent tant que 6. En calculant maintenant les premiers termes des développements des q, on trouve sans peine: De la dernière équation on peut tirer u-u, sous forme d'une série suivant les puissances entières et positives de (t-t,), et, en substituant cette série au lieu de u-u, dans 1) Voir p. ex. PICARD, Traité d'Analyse, Tome II, Chap. XI, les formules (40), on trouve que les quantités §, n, 5. ... sont aussi toutes développables suivant les puissances entières et positives de (t − t)3, du moins tant que t-t1| reste plus petit qu'une certaine quantité positive &. Les quantités u, §, n,..., considérées comme fonctions de t, admettent donc t=t, comme un point singulier algébrique autour duquel se permutent circulairement trois branches de chacune de ces fonctions. Ce résultat avait déjà été obtenu par M. G. BISCONCINI 1) par une voie différente. Par les séries ainsi obtenues nous pouvons, en particulier, calculer les valeurs des quantités r, x, y,... dans le mouvement considéré pour chaque valeur réelle de t comprise dans l'intervalle de t1e à t1. Mais ces mêmes séries nous permettront encore de définir une continuation du mouvement de nos corps après le choc. La seule continuation réelle s'obtient évidemment en choisissant la détermination réelle et positive de (t−t)3. La valeur de cette radicale étant réelle et négative pour les orbites primitives, on voit donc que, pour passer de celles-ci aux nouvelles orbites, il faudra faire décrire à la variable complexe t un chemin tournant autour du point t1 de telle manière que l'argument de t— t1 augmente ou diminue de 3. D'ailleurs, si l'on prend pour variable u au lieu de t, les nouvelles orbites seront évidemment représentées par les développements (40) en y faisant uu1>0. D'après le principe du prolongement analytique, les coordonnées des corps vérifieront encore pour t>t, les équations différentielles du mouvement et leurs intégrales premières, de sorte que la constante des forces vives et celles des aires garderont les valeurs qu'elles avaient avant le choc. De même, l'égalité r2 – (x2 + y2+z2)=0 restera constamment vérifiée, et comme, d'après (40), la quantité ŕ est positive après le choc, on voit qu'elle représentera toujours la distance P, P1. х y tendent vers les mê Il résulte des développements (40) que les rapports mes limites y, x, y, différentes de zéro, lorsque t tend vers t1, soit en croissant, soit en décroissant. On voit donc que les orbites des corps Po et Pi présenteront chacune un point de rebroussement au point où ces corps viennent se choquer. Au contraire, l'orbite du corps P2 restera continue dans le voisinage de l'instant t du choc. 1 Il va sans dire que, lorsque nous parlons de la continuation du mouvement après un choc, nous supposons qu'il s'agisse de corps idéaux qui se réduisent à des points matériels, sans quoi, dans le voisinage de l'instant t1, d'autres forces que leur attraction mutuelle entreraient en jeu. 7. Puisque les coordonnées de nos points idéaux vérifient encore pour t>t1 les équations (1), (2) et (3), les résultats obtenus plus haut resteront vrais aussi pour le mouvement après le choc, qui, en particulier, ne cessera d'être régulier que lorsqu'un nouveau choc advient. Supposons que ceci ait lieu à l'instant t2; nous nous proposons de chercher une limite inférieure de l'intervalle t2 - t1. 1) G. BISCONCINI, Sur le problème des trois corps, Acta Mathematica, T. 30. En se reportant au no 5, on voit aisément que les q, sont <*, tant que | uu1<Q2'. D'après (33) il s'ensuit que les distances ro et r1 sont >0 quand u-u, <Q2'. Si un choc a lieu après l'instant t, durant que uu1<Q2', ce sera par suite la distance r qui deviendra nulle. Faisons croître u par des valeurs réelles en partant de la valeur u,. Il suit de (21) ou de (14) que r, partant de la valeur 0, ira constamment en croissant, au moins tant que mo + m1 + r L >0. Mais, selon (35), on a L<2, quand u-u, <Q2'. Pour les valeurs de r satisfaisant à l'inégalité Deux cas sont maintenant possibles: Premier cas: 0<r<22 quand u-u1<Q2'. On tire alors successivement des équations (21) et (42) > (mo+m1) (u - u1), quand u-u1<Q2', d'où suit immédiatement que l'intervalle t2- t1 est plus grand que Second cas: r=22 pour u-u1 = (<Q2'), tandis que 0<r< 22 si u - u1 <o. En ayant égard aux inégalités (42), on tire encore des équations (21) les inégalités qui sont valables tant que u-u, o. En faisant uu1o, on aura alors |
